Question

如圖，平面上一點(diǎn)P從點(diǎn)M（

3

，1）出發(fā)，沿射線OM方向以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度作勻速運(yùn)動(dòng)，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，以O(shè)P為對(duì)角線的矩形OAPB的邊長(zhǎng)OA：OB=1：

3

；過(guò)點(diǎn)O且垂直于射線OM的直線l與點(diǎn)P同時(shí)出發(fā)，且與點(diǎn)P沿相同的方向、以相同的速度運(yùn)動(dòng)．
（1）在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，試判斷AB與y軸的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．
（2）設(shè)點(diǎn)P與直線l都運(yùn)動(dòng)了t秒，求此時(shí)的矩形OAPB與直線l在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中所掃過(guò)的區(qū)域的重疊部分的面積S．（用含t的代數(shù)式表示）

Answer 1

分析：（1）證AB與y軸平行，可根據(jù)OA：OB的值得出特殊角的度數(shù)，然后利用矩形的性質(zhì)：對(duì)角線互相平分且相等，得出∠MOB=∠ABO=30°，根據(jù)M點(diǎn)的坐標(biāo)可得出∠MOS=30°，即∠BOS=60°由此可證得AB⊥x軸即AB∥y軸．
（2）先找出關(guān)鍵時(shí)刻的t的值．OM=2，因此PO=2+t．
當(dāng)l與AD重合時(shí)，此時(shí)OC=OD=t，即t=

1

2

OA=

1

4

OP=

1

4

（2+t）
當(dāng)l與BE重合時(shí)，OC=OE=t，EP=OD=

1

4

（2+t），因此OE=t=

3

4

（2+t）
因此本題可分三種情況進(jìn)行討論：
①當(dāng)0＜t≤

1

4

（2+t），即0＜t≤

2

3

時(shí)，此時(shí)直線l在OD上運(yùn)動(dòng)，掃過(guò)部分是個(gè)直角三角形，此時(shí)OC=t，易求得直角三角形的兩條直角邊分別為

2 3

3

t和2t，由此可求出掃過(guò)部分的面積．
②當(dāng)

1

4

（2+t）＜t≤

3

4

（2+t），即

2

3

＜t≤6時(shí)，掃過(guò)部分是個(gè)直角梯形．可根據(jù)CE的長(zhǎng)求出梯形的上底，進(jìn)而求出梯形的面積．
③當(dāng)t＞

3

4

（2+t）即t＞6時(shí)，重合部分是個(gè)多邊形，可用矩形的面積減去右邊的小三角形的面積進(jìn)行求解．

解答：解：（1）AB∥y軸．
理由：∵Rt△OAB中，tan∠ABO=OA：OB=1：

3

，
∴∠ABO=30°，
設(shè)AB交OP于點(diǎn)Q，交x軸于點(diǎn)S，
∵矩形的對(duì)角線互相平分且相等，則QO=QB，
∴∠QOB=30°，
過(guò)點(diǎn)M作MT⊥x軸于T，則tan∠MOT=1：

3

=

3

3

，
∴∠MOT=30°，
∴∠BOS=60°，
∴∠BSO=90°，
∴AB∥y軸；

（2）過(guò)點(diǎn)A作垂直于射線OM的直線交OM于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)B且垂直于射線OM的直線交OM于點(diǎn)E，

則OD=t．
∵OP=2+t，
∴OB=

3

2

（2+t），OE=

3

4

（2+t），OA=

1

2

（2+t），OD=

1

4

（2+t），
①當(dāng)0＜t≤

1

4

（2+t），即0＜t≤

2

3

時(shí)，S=

2 3

3

t²，
②當(dāng)

1

4

（2+t）＜t≤

3

4

（2+t）即

2

3

＜t≤6時(shí)，
設(shè)直線l交OB于F，交PA于G，交OP于點(diǎn)C，
則OF=

2

3

t，PG=

2

3

CP=

4

3

，
∴AG=PA-

4

3

=

3

2

t-

3

3

，S=

1

2

（

3

2

t-

3

3

+

2

3

t）•

1

2

（2+t）=

7 3

24

t²+

3

2

t-

3

6

．
③當(dāng)t＞

3

4

（2+t）即t＞6時(shí)，
∵CP=2，
∴S=S_矩形-

1

2

×4×

4

3

=

3

2

（2+t）×

1

2

（2+t）-

8 3

3

=

3

4

t²+

3

t-

5 3

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題是運(yùn)動(dòng)性問(wèn)題，考查了矩形的性質(zhì)和圖形面積的求法，找出幾個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．