Question

以O為圓心，1為半徑作圓．△ABC為⊙O的內接正三角形，P為弧AC的三等分點，則PA²+PB²+PC²的值為

 

．

Answer 1

分析：由以O為圓心，1為半徑作圓，△ABC為⊙O的內接正三角形，即可得∠BAC=∠ABC=60°，AB=AC=BC=

3

，又由P為弧AC的三等分點，即可得各角的度數(shù)，然后根據(jù)正弦定理，即可求得PA，PB，PC的值，又由三角函數(shù)的性質，即可求得PA²+PB²+PC²的值．

解答：解：∵以O為圓心，1為半徑作圓，△ABC為⊙O的內接正三角形，
∴∠BAC=∠ABC=60°，AB=AC=BC=

3

，
∴∠APB=∠ACB=60°，∠BPC=∠BAC=60°，
∵P為弧AC的三等分點，
∴∠ABP=

1

3

∠ABC=20°，
∴∠PBC=40°，
∴∠PAC=∠PBC=40°，
∴∠PAB=∠BAC+∠PAC=100°，
∵

PA

sin∠ABP

=

PB

sin∠PAB

=

AB

sin∠APB

，

PC

sin∠PBC

=

BC

sin∠BPC

，
∴

PA

sin20°

=

PB

sin100°

=

AB

sin60°

，

PC

sin40°

=

BC

sin60°

，
∵

AB

sin60°

=

3

3 2

=2，
∴PA=2sin20°，PB=2sin100°，PC=2sin40°，
∴PA²+PB²+PC²=4[sin²20+sin²80+sin²40]=4[

1-cos40°

2

+

1-cos160°

2

+

1-cos80°

2

]=4[

3

2

-cos（60°-20°）+cos20°-cos（60°+20°）]=6．
故答案為：6．

點評：此題考查了圓的內角正三角形的性質，弧的三等分點的性質以及正弦定理等知識．此題難度較大，解題的關鍵是正確應用正弦定理以及三角函數(shù)的性質，注意數(shù)形結合思想的應用．