Question

如圖，以AD為直徑的半圓O經(jīng)過Rt△ABC斜邊AB的兩個端點，交直角邊AC于點E，B、E是半圓弧的三等分點，

BE

的長為

1

3

π，則圖中陰影部分的面積為

 

．

Answer 1

考點：扇形面積的計算,弧長的計算

專題：

分析：首先根據(jù)圓周角定理得出扇形半徑以及圓周角度數(shù)，進(jìn)而利用銳角三角函數(shù)關(guān)系得出BC，AC的長，利用S_△ABC-S_扇形BOE=圖中陰影部分的面積求出即可．

解答：解：連接BD，BE，BO，EO，
∵B，E是半圓弧的三等分點，
∴∠EOA=∠EOB=∠BOD=60°，
∴∠BAC=∠EBA=30°，
∴BE∥AD，
∵

BE

的長為

1

3

π，
∴

60π×R

180

=

1

3

π，
解得：R=1，
∴AB=ADcos30°=

3

，
∴BC=

1

2

AB=

3

2

，
∴AC=

AB2-BC2

=

( 3 )2-( 3 2 )2

=

3

2

，
∴S_△ABC=

1

2

×BC×AC=

1

2

×

3

2

×

3

2

=

3 3

8

，
∵△BOE和△ABE同底等高，
∴△BOE和△ABE面積相等，
∴圖中陰影部分的面積為：S_△ABC-S_扇形BOE=

3 3

8

-

60π×12

360

=

3 3

8

-

π

6

．
故答案為：

3 3

8

-

π

6

．

點評：此題主要考查了扇形的面積計算以及三角形面積求法等知識，根據(jù)已知得出∴△BOE和△ABE面積相等是解題關(guān)鍵．