Question

如圖，在△ABC中，O是邊AC上的一動點(diǎn)，過點(diǎn)O作直線MN∥BC，設(shè)MN交∠BCA的平分線于點(diǎn)E，交∠BCA的外角平分線于點(diǎn)F．
（1）求證：OE=OF；
（2）當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動到何處時，四邊形AECF是矩形？

Answer 1

（1）證明：∵M(jìn)N∥BC，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，
∴∠BCE=∠ACE=∠OEC，∠OCF=∠FCD=∠OFC，
∴OE=OC，OC=OF，
∴OE=OF．

（2）解：當(dāng)O運(yùn)動到AC中點(diǎn)時，四邊形AECF是矩形，
∵AO=CO，OE=OF，
∴四邊形AECF是平行四邊形，
∵∠ECA+∠ACF=∠BCD，
∴∠ECF=90°，
∴四邊形AECF是矩形．
分析：（1）根據(jù)MN∥BC，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD及等角對等邊即可證得OE=OF；
（2）根據(jù)矩形的性質(zhì)可知：對角線且互相平分，即AO=CO，OE=OF，故當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動到AC的中點(diǎn)時，四邊形AECF是矩形．
點(diǎn)評：此題主要考查了矩形的判定，關(guān)鍵是掌握有一個角為直角的平行四邊形是矩形．