Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)D在AB的延長(zhǎng)線(xiàn)上，C、E是⊙O上的兩點(diǎn)，CE=CB，∠BCD=∠CAE，延長(zhǎng)AE交BC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F．

（1）求證：CD是⊙O的切線(xiàn)；

（2）求證：CE=CF；

（3）若BD=1，CD=，求弦AC的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析；（3）

【解析】

（1）連接OC，可證得∠CAD=∠BCD，由∠CAD+∠ABC=90°，可得出∠OCD=90°，即結(jié)論得證；

（2）證明△ABC≌△AFC可得CB=CF，又CB=CE，則CE=CF；

（3）證明△DCB∽△DAC，可求出DA的長(zhǎng)，求出AB長(zhǎng)，設(shè)BC=a，AC=a，則由勾股定理可得AC的長(zhǎng)．

解：（1）連接OC，

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ACB=90°，

∴∠CAD+∠ABC=90°，

∵CE=CB，

∴∠CAE=∠CAB，

∵∠BCD=∠CAE，

∴∠CAB=∠BCD，

∵OB=OC，

∴∠OBC=∠OCB，

∴∠OCB+∠BCD=90°，

∴∠OCD=90°，

∴CD是⊙O的切線(xiàn)；

（2）∵∠BAC=∠CAE，∠ACB=∠ACF=90°，AC=AC，

∴△ABC≌△AFC（ASA），

∴CB=CF，

又∵CB=CE，

∴CE=CF；

（3）∵∠BCD=∠CAD，∠ADC=∠CDB，

∴△DCB∽△DAC，

∴，

∴，

∴DA=2，

∴AB=AD﹣BD=2﹣1=1，

設(shè)BC=a，AC=a，由勾股定理可得：，

解得：a=，

∴.