Question

4．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OABC是矩形，OA=3，AB=4，將線段OA繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，使點(diǎn)A落在OC邊上的點(diǎn)E處，拋物線y=ax²+bx+c過(guò)A、E、B三點(diǎn)．

（1）求拋物線的解析式；
（2）若M為拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△MBE的周長(zhǎng)最小時(shí)，求M點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿AB向B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿BO向點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)．P點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)B時(shí)，Q點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（秒）．若△PBQ是等腰三角形，求t的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)矩形的性質(zhì)及OE=OA得出點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求解可得；
（2）根據(jù)M為直線AE與對(duì)稱(chēng)軸x=2的交點(diǎn)時(shí)，ME+MB的值最小，即△MBE的周長(zhǎng)最小，分別求出直線AE的解析式，從而得出直線AE與對(duì)稱(chēng)軸x=2的交點(diǎn)即可得；
（3）分BP=BQ、QP=QB、QP=PB三種情況依據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出關(guān)于t的方程，求解可得答案．

解答 解：（1）∵四邊形OABC是矩形，OA=3，AB=4，
∴∠OAB=∠OCB=90°，OC=AB=4，CB=OA=3．
又∵OE=OA=3，
∴A﹙0，3﹚，B﹙4，3﹚，E﹙3，0﹚
∵拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過(guò)A，B，E三點(diǎn)，
∴$\left\{\begin{array}{l}{c=3}\\{9a+3b+c=0}\\{16a+4b+c=3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=-4}\\{c=3}\end{array}\right.$，
∴拋物線的解析式為：y=x²-4x+3．

（2）∵y=x²-4x+3=（x-2）²-1，
∴拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為直線x=2．
∵點(diǎn)A，B關(guān)于直線x=2對(duì)稱(chēng)，
∴M為直線AE與對(duì)稱(chēng)軸x=2的交點(diǎn)時(shí)，ME+MB的值最小，而B(niǎo)E的長(zhǎng)一定，此時(shí)△MBE的周長(zhǎng)最�。�
設(shè)直線AE的解析式為y=kx+m，
則有$\left\{\begin{array}{l}{m=3}\\{3k+m=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{m=3}\end{array}\right.$，
∴y=-x+3．
當(dāng)x=2時(shí)，y=1，
∴M點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，1）；

（3）由題意知PB=4-t，BQ=t，
①若BP=BQ，則4-t=t，
解得：t=2；
②若QP=QB，如圖1，作QD⊥AB于D，則BD=$\frac{4-t}{2}$，

∵∠QDB=∠OAB=90°，∠QBD=∠OBA，
∴△QDB∽△OAB，
∴$\frac{BD}{BA}$=$\frac{BQ}{BO}$，即$\frac{\frac{4-t}{2}}{4}$=$\frac{t}{5}$，
解得：t=$\frac{20}{13}$；
③若QP=PB，如圖2，作PE⊥QB于E，則BE=$\frac{t}{2}$，

∵∠PEB=∠OAB=90°，∠PBE=∠OBA，
∴△PBE∽△OAB，
∴$\frac{PB}{OB}$=$\frac{BE}{BA}$，即$\frac{4-t}{5}$=$\frac{\frac{t}{2}}{5}$，
解得：t=$\frac{32}{13}$；
綜上，△PBQ是等腰三角形時(shí)，t的值為2或$\frac{20}{13}$或$\frac{32}{13}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查二次函數(shù)的綜合運(yùn)用，熟練掌握矩形的性質(zhì)、待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、兩點(diǎn)間線段最短、等腰三角形的判定及相似三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．