Question

等腰△ABC的直角邊AB=BC=10cm，點P、Q分別從A、C兩點同時出發(fā)，均以1cm/秒的相同速度作直線運動，已知P沿射線AB運動，Q沿邊BC的延長線運動，PQ與直線AC相交于點D．設(shè)P點運動時間為t，△PCQ的面積為S．

（1）求出S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式；

（2）當(dāng)點P運動幾秒時，S△PCQ=S△ABC？

（3）作PE⊥AC于點E，當(dāng)點P、Q運動時，線段DE的長度是否改變？證明你的結(jié)論．

Answer 1

（1）當(dāng)t＜10秒時，S=(10tt2)，t＞10秒時，s=(t210t)；（2）5+5秒；（3）不會改變.

【解析】

試題分析：由題可以看出P沿AB向右運動，Q沿BC向上運動，且速度都為1cm/s，S=QC×PB，所以求出QC、PB與t的關(guān)系式就可得出S與t的關(guān)系，另外應(yīng)注意P點的運動軌跡，它不僅在B點左側(cè)運動，達到一定時間后會運動到右側(cè)，所以一些問題可能會有兩種可能出現(xiàn)的情況，這時我們應(yīng)分類回答．

試題解析：（1）當(dāng)t＜10秒時，P在線段AB上，此時CQ=t，PB=10-t

∴s=×t×(10t)=(10tt2)

當(dāng)t＞10秒時，P在線段AB得延長線上，此時CQ=t，PB=t-10

∴s=×t×(t10)=(t210t)

（2）∵S△ABC=ABBC=50

∴當(dāng)t＜10秒時，S△PCQ=(10tt2)=50

整理得t2-10t+100=0無解

當(dāng)t＞10秒時，S△PCQ=(t210t)=50

整理得t2-10t-100=0解得x=5±5（舍去負值）

∴當(dāng)點P運動5+5秒時，S△PCQ=S△ABC.

（3）當(dāng)點P、Q運動時，線段DE的長度不會改變

證明：過Q作QM⊥AC，交直線AC于點M

易證△APE≌△QCM，

∴AE=PE=CM=QM=t，

∴四邊形PEQM是平行四邊形，且DE是對角線EM的一半

又∵EM=AC=10

∴DE=5

∴當(dāng)點P、Q運動時，線段DE的長度不會改變

考點：1.一元二次方程的應(yīng)用；2.全等三角形的應(yīng)用．

考點分析： 考點1：二次函數(shù) 定義：
一般地，如果（a，b，c是常數(shù)，a≠0），那么y叫做x 的二次函數(shù)。
①所謂二次函數(shù)就是說自變量最高次數(shù)是2;
②二次函數(shù)（a≠0）中x、y是變量，a，b，c是常數(shù)，自變量x 的取值范圍是全體實數(shù)，b和c可以是任意實數(shù)，a是不等于0的實數(shù)，因為a=0時，變?yōu)閥=bx+c若b≠0,則y=bx+c是一次函數(shù)，若b=0，則y=c是一個常數(shù)函數(shù)。
③二次函數(shù)（a≠0）與一元二次方程（a≠0）有密切聯(lián)系，如果將變量y換成一個常數(shù)，那么這個二次函數(shù)就是一個一元二次函數(shù)。 二次函數(shù)的解析式有三種形式：
（1）一般式：（a，b，c是常數(shù)，a≠0）；
（2）頂點式： （a，h，k是常數(shù)，a≠0）
（3）當(dāng)拋物線與x軸有交點時，即對應(yīng)二次好方程有實根x₁和x₂存在時，根據(jù)二次三項式的分解因式，二次函數(shù)可轉(zhuǎn)化為兩根式。如果沒有交點，則不能這樣表示。

二次函數(shù)的一般形式的結(jié)構(gòu)特征：
①函數(shù)的關(guān)系式是整式；
②自變量的最高次數(shù)是2；
③二次項系數(shù)不等于零。 二次函數(shù)的判定：
二次函數(shù)的一般形式中等號右邊是關(guān)于自變量x的二次三項式；
當(dāng)b=0，c=0時，y=ax²是特殊的二次函數(shù)；
判斷一個函數(shù)是不是二次函數(shù)，在關(guān)系式是整式的前提下，如果把關(guān)系式化簡整理（去括號、合并同類項）后，能寫成（a≠0）的形式，那么這個函數(shù)就是二次函數(shù)，否則就不是。 試題屬性

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