Question

3．如圖，在?ABCD中，∠A的平分線分別與BC及DC的延長線交于點E、F，點O、O₁分別為△CEF、△ABE的外心
（1）求證：O、E、O₁三點共線；
（2）求證：∠OBD=$\frac{1}{2}$∠ABC．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)證明即可；
（2）根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)解答即可．

解答 解：（1）連接OE，OF，AO₁，EO₁，

∵點O，O₁分別是外心，
∴OE=OF，AO₁=EO₁，
∵∠EOF=2∠ECF=∠AO₁E=2∠ABE，
∴△OEF∽△O₁EA，
∴∠OEF=∠AEO₁，
∴O、E、O₁三點共線；
（2）連接OD，OC，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴∠CEF=∠DAE=∠BAF=∠CFE，
∴CE=CF，
∵OE=OF=OC，
在△OCE與△OCF中
$\left\{\begin{array}{l}{CE=CF}\\{OE=OE}\\{OC=OF}\end{array}\right.$，
∴△OCE≌△OCF（SSS），
∴∠OEC=∠OFC=∠OCF，
∴∠OEB=∠OCD，
∵∠BAE=∠EAD=∠AEB，EB=AB=DC，
在△OCD與△OEB中
$\left\{\begin{array}{l}{OE=OC}\\{∠OEB=∠OCD}\\{EB=CD}\end{array}\right.$，
∴△OCD≌△OEB（SAS），
∴∠ODC=∠OBE，∠ODC=∠OBC，
∵OD=OB，
∴∠OBD=∠ODB，
∵∠OBD=∠OBC+∠CBD=∠ODC+∠BDO=∠ABC-∠OBD，
∴2∠OBD=∠ABC，
∴∠OBD=$\frac{1}{2}$∠ABC．

點評 此題考查平行四邊形的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)相似三角形和全等三角形的判定和性質(zhì)解答．