Question

如圖所示，AB=AC，DE=DC，AD∥BC，求證：∠BAC=∠EDC．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質,角平分線的性質,等腰三角形的性質

專題：證明題

分析：過點D作DF⊥AB交BA的延長線于F，作DG⊥AC于G，根據(jù)等邊對等角可得∠B=∠ACB，根據(jù)兩直線平行，內錯角相等可得∠ACB=∠CAD，兩直線平行，同位角相等可得∠B=∠DAF，從而得到∠CAD=∠DAF，再根據(jù)角平分線上的點到角的兩邊距離相等可得DF=DG，然后利用“HL”證明Rt△EFD和Rt△CGD全等，根據(jù)全等三角形對應角相等可得∠EDF=∠CDG，然后求出∠FDG=∠EDC，再根據(jù)四邊形的內角和定理和平角的定義求出∠BAC=∠FDG，從而得證．

解答：證明：如圖，過點D作DF⊥AB交BA的延長線于F，作DG⊥AC于G，
∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB，
∵AD∥BC，
∴∠B=∠ACB，∠B=∠DAF，
∴∠CAD=∠DAF，
∴DF=DG（角平分線上的點到角的兩邊距離相等），
在Rt△EFD和Rt△CGD中，

DE=DC DF=DG

，
∴Rt△EFD≌Rt△CGD（HL），
∴∠EDF=∠CDG，
∵∠EDF=∠FDG-∠EDG，
∠CDG=∠EDC-∠EDG，
∴∠FDG=∠EDC，
∵∠FDG+∠FAG=360°-90°×2=180°，
∠BAC+∠FAG=180°，
∴∠BAC=∠FDG，
∴∠BAC=∠EDC．

點評：本題考查了全等三角形的判定與性質，等腰三角形的性質，角平分線上的點到角的兩邊距離相等的性質，熟練掌握三角形全等的判定方法并作輔助線構造出全等三角形是解題的關鍵．