Question

△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，在BC邊上找一點P，使得點P到點C的距離與點P到邊AB的距離相等．
（1）找出點P的位置（尺規(guī)作圖）．
（2）求BP的長．

Answer 1

考點：角平分線的性質(zhì),勾股定理,作圖—基本作圖

專題：

分析：（1）作∠CAB的平分線，交BC于點P，過點P作PD⊥AB于D，則PC=PD；
（2）先利用HL證明Rt△ADP≌Rt△ACP，得出AD=AC=3，再設PC=x，則PD=x，BP=4-x，在Rt△BDP中，由勾股定理得出（4-x）²=x²+2²，解得：x=1.5，進而求出BP的值．

解答：解：（1）如圖，點P即為所求；
 
（2）∵AP平分∠CAB，PD⊥AB于D，∠C=90°，
∴PD=PC．
在Rt△ADP和Rt△ACP中，

AP=AP PD=PC

，
∴Rt△ADP≌Rt△ACP（HL），
∴AD=AC=3．
在Rt△ABC中，由勾股定理，得
AB=5，
∴BD=5-3=2．
設PC=x，則PD=x，BP=4-x，在Rt△BDP中，由勾股定理，得
（4-x）²=x²+2²，
解得：x=1.5，
∴BP=4-1.5=2.5．
答：BP的長為2.5．

點評：本題考查了勾股定理的運用，角平分線的性質(zhì)的運用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運用，解答時證明三角形的全等和運用勾股定理建立方程求解是關鍵．