Question

如圖，∠ACD是△ABC的外角，∠ABC的平分線與∠ACD的平分線交于點A₁，∠A₁BC的平分線與∠A₁CD的平分線交于點A₂，…，∠A_n-1BC的平分線與∠A_n-1CD的平分線交于點A_n．設∠A=θ．則：
（1）∠A₁=

 

；
（2）∠A₂=

 

；
（3）∠A_n=

 

．

Answer 1

考點：三角形內(nèi)角和定理,三角形的外角性質(zhì)

專題：

分析：（1）根據(jù)角平分線的定義可得∠A₁BC=

1

2

∠ABC，∠A₁CD=

1

2

∠ACD，再根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和可得∠ACD=∠A+∠ABC，∠A₁CD=∠A₁BC+∠A₁，整理即可得解；
（2）與（1）同理求出∠A₂；
（3）根據(jù)求出的結果，可以發(fā)現(xiàn)后一個角等于前一個角的

1

2

，根據(jù)此規(guī)律即可得解．

解答：（1）解：（1）∵A₁B是∠ABC的平分線，A₁C是∠ACD的平分線，
∴∠A₁BC=

1

2

∠ABC，∠A₁CD=

1

2

∠ACD，
又∵∠ACD=∠A+∠ABC，∠A₁CD=∠A₁BC+∠A₁，
∴

1

2

（∠A+∠ABC）=

1

2

∠ABC+∠A₁，
∴∠A₁=

1

2

∠A，
∵∠A=θ，
∴∠A₁=

θ

2

，
故答案為：

θ

2

；

（2）同理可得∠A₂=

1

2

∠A₁=

θ

4

，
故答案為：

θ

4

；

（3）同理可得∠A₂=

1

2

∠A₁=

1

2

×

θ

2

=

θ

22

，
所以∠A_n=

θ

2n

故答案為：

θ

2n

．

點評：本題主要考查了三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和的性質(zhì)，角平分線的定義，熟記性質(zhì)然后推出后一個角是前一個角的一半是解題的關鍵．