Question

在平面直角坐標系中，以點A（3，0）為圓心，5為半徑的圓與軸相交于點、（點B在點C的左邊），與軸相交于點D、M（點D在點M的下方）．

1.（1）求以直線x=3為對稱軸，且經過D、C兩點的拋物線的解析式；

2.（2）若E為直線x=3上的任一點，則在拋物線上是否存在

這樣的點F，使得以點B、C、E、F為頂點的四邊形是平

行四邊形？若存在，求出點F的坐標；若不存在，說明理由． 

 

Answer 1

 

1.解：（1）如圖，∵ 圓以點A（3,0）為圓心，5為半徑，

        ∴ 根據圓的對稱性可知 B（－2，0），C（8，0）．

      連結．

在Rt△AOD中，∠AOD=90°，OA=3，AD=5，

∴ OD=4．

    ∴ 點D的坐標為（0,－4）．

    設拋物線的解析式為，

 又 ∵拋物線經過點C（8，0），且對稱軸為，

    ∴       解得  

    ∴所求的拋物線的解析式為 ．---------------------------------2分

2.（2）存在符合條件的點F，使得以點B、C、E、F為頂點的四邊形是平行四邊形．

分兩種情況．

Ⅰ：當BC為平行四邊形的一邊時，

 必有 ∥，且EF =BC=10．

∴ 由拋物線的對稱性可知，

存在平行四邊形和平行四邊形．如（圖1）．

∵E點在拋物線的對稱軸上，∴設點E為（3，），且＞0．

         則F₁（－7，t），F₂（13，t）．

將點F₁、F₂分別代入拋物線的解析式，解得 ．

∴點的坐標為或．

Ⅱ：當BC為平行四邊形的對角線時，

必有AE=AF，如（圖2）．

∵ 點F在拋物線上，∴ 點F必為拋物線的頂點．

由，

知拋物線的頂點坐標是（，）．

∴此時點的坐標為．

∴ 在拋物線上存在點F，使得以點B、C、E、F為頂點的四邊形是平行四邊形．

滿足條件的點F的坐標分別為：，，．

----------------------------------------------------8分

解析:略