Question

4．如圖，Rt△AOB的直角邊OA、OB分別在x軸正半軸和y軸正半軸上，OA=1，∠OBA=30°，將△AOB繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使AB的對應(yīng)邊AD恰好落在x軸上，若函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)O的對應(yīng)點(diǎn)C，則k的值為$\frac{3\sqrt{3}}{4}$．

Answer 1

分析 作CE⊥x軸于E點(diǎn)，如圖，先利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得AC=OA=1，∠CAD=∠OAB=60°，在Rt△ACE中，根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得到AE=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$，CE=$\sqrt{3}$AE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，則C（$\frac{3}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），然后根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征求k的值．

解答 解：作CE⊥x軸于E點(diǎn)，如圖，
∵∠OBA=30°，
∴∠OAB=60°，
∵△AOB繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使AB的對應(yīng)邊AD恰好落在x軸上，
∴AC=OA=1，∠CAD=∠OAB=60°，
在Rt△ACE中，AE=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$，CE=$\sqrt{3}$AE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴OE=OA+AE=1+$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}$，
∴C（$\frac{3}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），
把C（$\frac{3}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）代入y=$\frac{k}{x}$得k=$\frac{3}{2}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$．
故答案為$\frac{3\sqrt{3}}{4}$．

點(diǎn)評 本題考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征：比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（k為常數(shù)，k≠0）的圖象是雙曲線，①圖象上的點(diǎn)（x，y）的橫縱坐標(biāo)的積是定值k，即xy=k．解決本題的關(guān)鍵是確定C點(diǎn)坐標(biāo)．