Question

如圖，已知一次函數(shù)y=kx+1（k≠0）的圖象與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，且與反比例函數(shù)的圖象在第一象限交于C點(diǎn)，C點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2．
（1）一次函數(shù)的解析式；
（2）求△AOC的面積；
（3）P是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，是否存在點(diǎn)P，使得由A、P、C三點(diǎn)構(gòu)成的三角形是直角三角形？若存在，求出P點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）因?yàn)榉幢壤�函�?shù)的圖象過(guò)C點(diǎn)，所以可求C點(diǎn)坐標(biāo)，再求一次函數(shù)的解析式；
（2）根據(jù)直線解析式求A點(diǎn)坐標(biāo)再求△AOC的面積；
（3）存在．以AC為直角邊時(shí)，當(dāng)AC為直角邊時(shí)，由于∠ACP₂=∠AP₁C=∠CP₁P₂=90°可以推出△ACP₁∽△CP₂P₁，然后利用相似三角形的性質(zhì)即可求出P₁P₂，就可以求出P的坐標(biāo)；當(dāng)以AC為斜邊時(shí)，就可以直接得到P的坐標(biāo)．
解答：解：（1）∵反比例函數(shù)的圖象過(guò)C點(diǎn)，C點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，
∴C（2，2），
∵一次函數(shù)y=kx+1過(guò)C點(diǎn)，
∴2=2k+1，
∴k=，
∴一次函數(shù)的解析式為y=x+1；

（2）當(dāng)y=0時(shí)，x+1=0，
∴x=-2，
∴A（-2，0），
由圖象得S_△AOC=×2×2=2；

（3）如圖，
當(dāng)AC為斜邊時(shí)，P₁（2，0）；
當(dāng)AC為直角邊時(shí)，
∵∠ACP₂=∠AP₁C=∠CP₁P₂=90°，
∴△ACP₁∽△CP₂P₁，
∴CP₁²=AP₁•P₁P₂，
而AP₁=4，CP₁=2，
∴P₁P₂=1，
∴OP₂=3，
∴P₂（3，0）．
故P點(diǎn)坐標(biāo)（2，0）或（3，0）．
點(diǎn)評(píng)：此題運(yùn)用了分類討論的思想方法，通過(guò)分類討論才能比較全面的分析問(wèn)題，解決問(wèn)題．此題主要考查了反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)．