Question

如圖．以O為圓心的圓與△AOB的邊AB相切于點C．與OB相交于點D，且OD=BD，己知sinA=

2

5

，AC=

21

．
（1）求⊙O的半徑：
（2）求圖中陰影部分的面枳．

Answer 1

分析：（1）根據切線的性質得出CO⊥AB，再根據解直角三角形得出CO，AO的關系，進而得出它們的長度，即可得出半徑長度；
（2）根據已知得出∠COD=60°，進而利用三角形面積減去扇形面積即可得出答案．

解答：解：（1）連接OC，
∵以O為圓心的圓與△AOB的邊AB相切于點C．
∴CO⊥AB，
∵sinA=

2

5

=

CO

AO

，
∵AC=

21

．
∴假設CO=2x，AO=5x，
4x²+21=25x²，
解得：x=1，
∴CO=2，
∴⊙O的半徑為2；

（2）∵⊙O的半徑為2，
∴DO=2，
∵DO=DB，
∴BO=4，
∴BC=2

3

，
∴2CO=BO，
∵OC⊥BC，
∴∠CBO=30°，
∠COD=60°，
圖中陰影部分的面枳為：S_△OCB-S_扇形COD=

1

2

×2

3

×2-

60π×22

360

=2

3

-

2

3

π．

點評：此題主要考查了扇形面積求法以及切線的性質和勾股定理的應用等知識，得出圖中陰影部分的面枳為：S_△OCB-S_扇形COD是解決問題的關鍵．