Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠C＝90°，D為AC上的一點(diǎn)，過D作DE⊥AC，過B作BE⊥AB，DE，BE交于點(diǎn) E．已知BC＝3，AB＝5．

（1）證明：△EFB∽△ABC．

（2）若CD＝1，請求出ED的長．

（3）連結(jié)AE，記CD＝a，△AFE與△EBF面積的差為b．若存在實(shí)數(shù)t1，t2，m（其中t1≠t2），當(dāng)a＝t1或a＝t2時，b的值都為m．求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）；（3）.

【解析】

（1）根據(jù)相似三角形的判定定理，可求證.（2）過點(diǎn)B作BG⊥ED于G，可得四邊形BGDC是矩形，進(jìn)而可得△EBG∽△ABC，從而求得ED的長．（3）根據(jù)△EBG∽△ABC，可得BE，再根據(jù)DE∥BC，可得△AFD∽△ABC，即得到AF，從而得到m的取值范圍．

解：（1）∵DE⊥AC，BE⊥AB，∠C＝90°，

∴DE∥BC，∠EBF＝∠ACB＝90°，

∴∠EFB＝∠ABC，

∴△EFB∽△ABC；

（2）如圖，過點(diǎn)B作BG⊥ED于G，

則∠BGE＝∠BGD＝∠EDC＝∠C＝90°，

∴四邊形BGDC是矩形，

∴BG＝CD＝1，BC＝GD＝3，

∵△EFB∽△ABC，

∴∠BEF＝∠CAB，

∴△EBG∽△ABC，

∴，即，

解得，

則；

（3）∵CD＝a，AC＝4，

∴BG＝a，AD＝4﹣a，

∵△EBG∽△ABC，

∴，即，

解得，

∵DE∥BC，

∴△AFD∽△ABC，

∴，即，

解得，

則，

∴

，

∴m的取值范圍是．