Question

13．已知拋物線y=$\frac{3}{4}$x²-$\frac{15}{4}$x+3交x軸于A、B兩點，交y軸于點C，點P為x軸下方拋物線上一點，CP交x軸于點Q．若S_△ACQ=S_△PBQ，則點P的坐標為（3，-$\frac{3}{2}$）．

Answer 1

分析 分別令x=0、y=0求出與之對應的y、x的值，即求出點A、B、C的坐標，設出點P坐標，根據(jù)點C、P坐標利用待定系數(shù)法求出直線CP的解析式，再令y=0求出點Q的坐標，根據(jù)三角形的面積公式結(jié)合S_△ACQ=S_△PBQ，即可得出關于m的方程，解方程即可得出結(jié)論．

解答 解：當x=0時，y=3，
∴點C的坐標為（0，3）；
當y=0時，有$\frac{3}{4}$x²-$\frac{15}{4}$x+3=0，
即x²-5x+4=（x-1）（x-4）=0，
解得：x₁=1，x₂=4，
∴A（1，0），B（4，0）．
設點P的坐標為（m，$\frac{3}{4}$m²-$\frac{15}{4}$m+3）（1＜m＜4），直線CP的解析式為y=kx+3，
將點P（m，$\frac{3}{4}$m²-$\frac{15}{4}$m+3）代入y=kx+3中，
得：$\frac{3}{4}$m²-$\frac{15}{4}$m+3=km+3，解得：k=$\frac{3}{4}$m-$\frac{15}{4}$，
∴直線CP的解析式為y=（$\frac{3}{4}$m-$\frac{15}{4}$）x+3．
當y=0時，有（$\frac{3}{4}$m-$\frac{15}{4}$）x+3=0，
解得：x=$\frac{4}{5-m}$，
∴點Q的坐標為（$\frac{4}{5-m}$，0），
∴AQ=$\frac{4}{5-m}$-1=$\frac{m-1}{5-m}$，BQ=4-$\frac{4}{5-m}$=$\frac{16-4m}{5-m}$．
S_△ACQ=$\frac{1}{2}$•AQ•y_C=$\frac{3•（m-1）}{2•（5-m）}$，S_△PBQ=$\frac{1}{2}$•BQ•|y_P|=$\frac{3•（4-m）^{2}•（m-1）}{2•（5-m）}$，
∵S_△ACQ=S_△PBQ，
∴$\frac{3•（m-1）}{2•（5-m）}$=$\frac{3•（4-m）^{2}•（m-1）}{2•（5-m）}$，即（4-m）²=1，
解得：m=3或m=5（舍去），
經(jīng)檢驗x=3是分式方程$\frac{3•（m-1）}{2•（5-m）}$=$\frac{3•（4-m）^{2}•（m-1）}{2•（5-m）}$的解，
∴點P的坐標為（3，-$\frac{3}{2}$）．
故答案為：（3，-$\frac{3}{2}$）．

點評 本題考查了拋物線與x軸交點、三角形的面積公式以及待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，解題的關鍵是根據(jù)S_△ACQ=S_△PBQ找出關于m的方程．本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時，借助于三角形面積相等找出方程是關鍵．