Question

18．設(shè)x、y、z、u是全不為0的實(shí)數(shù)，且
x=by+cz+du，
y=ax+cz+du，
z=ax+by+du，
u=ax+by+cz．
求$\frac{a}{1+a}$+$\frac{1+b}$+$\frac{c}{1+c}$+$\fracvmzcziy{1+d}$的值．

Answer 1

分析 四式相加得到3（ax+by+cz+du）=x+y+z+u，設(shè)3（ax+by+cz+du）=x+y+z+u=3k   ⑤，所以ax+by+cz+du=k   ⑥，①+⑥得到$\frac{a}{1+a}$=1-$\frac{x}{k}$，同理理$\frac{1+b}$=1-$\frac{y}{k}$，$\frac{c}{1+c}$=1-$\frac{z}{k}$，$\fraclqhkwnh{1+d}$=1-$\frac{u}{k}$，由此相加計(jì)算即可解決問題．

解答 解：由x=by+cz+du    ①
y=ax+cz+du    ②
z=ax+by+du   ③
u=ax+by+cz   ④，
①+②+③+④得到3（ax+by+cz+du）=x+y+z+u，
設(shè)3（ax+by+cz+du）=x+y+z+u=3k   ⑤，
所以ax+by+cz+du=k   ⑥
①+⑥得到ax+x=k，所以$\frac{a}{1+a}$=1-$\frac{x}{k}$，
同理$\frac{1+b}$=1-$\frac{y}{k}$，$\frac{c}{1+c}$=1-$\frac{z}{k}$，$\fracmmc9wyz{1+d}$=1-$\frac{u}{k}$，
所以$\frac{a}{1+a}$+$\frac{1+b}$+$\frac{c}{1+c}$+$\frac0vns9fz{1+d}$=4-$\frac{x+y+z+u}{k}$=4-3=1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查分式的化簡(jiǎn)求值，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用參數(shù)k解決問題，求出$\frac{a}{1+a}$=1-$\frac{x}{k}$是突破點(diǎn)，題目比較難．