Question

若a，b，c，d為非負整數．且（a²+b²）（c²+d²）=1993．則a+b+c+d=______．

Answer 1

因為1993是質數，a²+b²與c²+d²都是正整數，所以a²+b²與c²+d²分別取值1與1993；
不妨設a²+b²=1，c²+d²=1993．
（1）a²+b²=1、推知a=0，b=1或a=1，b=0，因此a+b=1
（2）c²+d²=1993、
若c≤31，d≤31，則c²+d²≤2×31²=2×961=1922＜1993，所以c，d中至少有一個大于31
又由于44²=1936＜1993，
故設c為c，d中較大的一個，則32≤c≤44．
我們試算如下：

c	44	43	42	41	40	39	38
c2	1936	1849	1764	1681	1600	1521	1444
1993-c2	57	144	229	312	393	472	549
c	37	36	35	34	33	32
c2	1369	1296	1225	1156	1089	1024
1933-c2	624	697	768	837	904	969

其中1933-c²的結果中，只有144=12²為完全平方數，
即43²+12²=1993，所以c=43，d=12或c=12，d=43
因此，c+d=55．
所以a+b+c+d=1+55=56．