Question

點(diǎn)P（x，y）在第一象限，且x+y=10，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（8，0），設(shè)原點(diǎn)為O，△OPA的面積為S．
（1）求S與x的函數(shù)關(guān)系式，寫(xiě)出x的取值范圍，畫(huà)出這個(gè)函數(shù)圖象；
（2）當(dāng)S=12時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）△OPA的面積能大于40嗎？為什么？

Answer 1

分析：（1）根據(jù)三角形的面積公式列式，即可用含x的解析式表示S，然后根據(jù)S＞0及已知條件，可求出x的取值范圍，根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)可畫(huà)出函數(shù)S的圖象；
（2）將S=12代入求得的函數(shù)的解析式，然后求得x、y的值，從而求得點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)及自變量的取值范圍即可判斷．

解答：解：（1）∵A和P點(diǎn)的坐標(biāo)分別是（8，0）、（x，y），
∴△OPA的面積=

1

2

OA•|y_P|，
∴S=

1

2

×8×|y|=4y．
∵x+y=10，∴y=10-x．
∴S=4（10-x）=40-4x；
∵S=-4x+40＞0，
解得：x＜10；
又∵點(diǎn)P在第一象限，
∴x＞0，
即x的范圍為：0＜x＜10；
∵S=-4x+40，S是x的一次函數(shù)，
∴函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（10，0），（0，40）．
所畫(huà)圖象如下：


（2）∵S=-4x+40，
∴當(dāng)S=12時(shí)，12=-4x+40，
解得：x=7，y=3．
即當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（7，3）；

（3）△OPA的面積不能大于40．理由如下：
∵S=-4x+40，-4＜0，
∴S隨x的增大而減小，
又∵x=0時(shí)，S=40，
∴當(dāng)0＜x＜10，S＜40．
即△OPA的面積不能大于40．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)及三角形的面積，難度一般，解答本題的關(guān)鍵是正確地求出S與x的關(guān)系，另外作圖的時(shí)候要運(yùn)用兩點(diǎn)作圖法，并且注意自變量的取值范圍．