Question

已知AB∥CD，AB=AD，EA=EC，求證：∠1=∠2．

Answer 1

考點：四點共圓,平行線的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),等腰三角形的性質(zhì),圓周角定理

專題：證明題

分析：在CD的延長線上取一點F，使得DF=DA，如圖所示．由AB∥CD，AB=AD可得到∠ADB=∠FDB，即可證到△ADE≌△FDE，則有EA=EF，∠EAD=∠EFD，由EA=EC可得EC=EF，從而有∠ECD=∠EFD，從而可得∠ECD=∠EAD，進而可得點E、A、C、D四點共圓，然后根據(jù)圓周角定理就可得到∠1=∠2．

解答：解：在CD的延長線上取一點F，使得DF=DA，如圖所示．
∵AB∥CD，∴∠ABD=∠FDB．
∵AB=AD，∴∠ABD=∠ADB．
∴∠ADB=∠FDB．
在△ADE和△FDE中，

AD=FD ∠ADE=∠FDE DE=DE

，
∴△ADE≌△FDE（SAS），
∴EA=EF，∠EAD=∠EFD．
∵EA=EC，∴EC=EF，
∴∠ECD=∠EFD，
∴∠ECD=∠EAD，
∴點E、A、C、D四點共圓，
∴∠1=∠2．

點評：本題考查了平行線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、四點共圓的判定、圓周角定理等知識，而解決本題的關(guān)鍵是利用角平分線構(gòu)造全等三角形．另外，證到∠ECD=∠EAD后，也可利用三角形外角的性質(zhì)（∠AOC=∠EAO+∠1=∠DCO+∠2）證到∠1=∠2．