Question

5．如圖，在四邊形ABCD中，∠ADC=90°，AB=AC，E，F(xiàn)分別為AC，BC的中點，連接EF，ED，F(xiàn)D．
（1）求證：ED=EF；
（2）若∠BAD=60°，AC平分∠BAD，AC=6，求DF的長．

Answer 1

分析 （1）由直角三角形的性質(zhì)可知DE=$\frac{1}{2}$AC，由三角形中位線定理可得EF=$\frac{1}{2}$AB，由條件AB=AC，可證得結(jié)論；
（2）由條件可證得△DEF為等腰直角三角形，利用勾股定理可求得DF的長．

解答 （1）證明：
∵∠ADC=90°，E為AC的中點，
∴DE=AE=$\frac{1}{2}$AC，
∵F為BC的中點，
∴EF為△ABC的中位線，
∴EF=$\frac{1}{2}$AB，
∵AB=AC，
∴DE=EF；
（2）解：
∵∠BAD=60°，AC平分∠BAD，
∴∠BAC=∠DAC=$\frac{1}{2}$∠BAD=30°，
由（1）可知EF∥AB，AE=DE，
∴∠FEC=∠BAC=30°，∠DEA=2∠DAC=60°，
∴∠FED=90°，
∵AC=6，
∴DE=EF=3，
∴DF=$\sqrt{D{E}^{2}+E{F}^{2}}$=3$\sqrt{2}$．

點評 本題主要考查三角形中位線定理及直角三角形的性質(zhì)，利用條件分別得到DE為直角三角形斜邊上的中線、EF為三角形的中位線是解題的關(guān)鍵．