Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點A，C分別在x軸，y軸上，四邊形ABCO為矩形，AB=4，點D與點A關(guān)于y軸對稱，cos∠ACB=

3

5

，點E，F(xiàn)分別是線段DA，AC上的動點（點E不與點A，D重合），且∠CEF=∠ACB．
（1）求證：△AEF與△DCE相似；
（2）設(shè)DE=x，y=CF，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并求自變量x的取值范圍．
（3）當(dāng)DE的長為多少時，CF長最小，最小值為多少？并求此時△CED的內(nèi)切圓的圓心G的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）先由軸對稱的性質(zhì)得出AC=CD，則∠2=∠3，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)得出∠1=∠DCE，從而根據(jù)兩角對應(yīng)相等的兩三角形相似即可證明△AEF與△DCE相似；
（2）先解直角△ABC，求出BC=3，AC=5，再由△AEF∽△DCE，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊的比相等得出

AF

DE

=

AE

DC

，進(jìn)而得到y(tǒng)關(guān)于x的函數(shù)解析式，并由點E滿足的條件即可求出自變量x的取值范圍；
（3）先利用配方法將y=

1

5

x²-

6

5

x+5寫成y=

1

5

（x-3）²+

16

5

，求出DE為3時，CF有最小值

16

5

，此時，點E與點O重合，設(shè)⊙G切△DCE三邊于M、N、P，設(shè)EN=EM=半徑r，根據(jù)切線長定理得出CP=CN=4-r，DP=DM=3-r，再由CP+DP=CD，求出r=1，從而得到點G的坐標(biāo)是（-1，1）．

解答：（1）證明∵四邊形ABCO為矩形，
∴OA∥BC，
∴∠2=∠4．
∵點D與點A關(guān)于y軸對稱，
∴AC=CD，
∴∠2=∠3，
∴∠4=∠3．
∵∠1+∠5=∠3+∠DCE，∠5=∠4=∠3，
∴∠1=∠DCE．
在△AEF與△DCE中，

∠2=∠3 ∠1=∠DCE

，
∴△AEF∽△DCE；

（2）解：∵AB=4，cos∠ACB=

3

5

，
∴BC=3，AC=5，
又∵△AEF∽△DCE，
∴

AF

DE

=

AE

DC

，
∴

5-y

x

=

6-x

5

，
解得y=

1

5

x²-

6

5

x+5．
∵點E是線段DA上的動點，點E不與點A、D重合，且DE=x，AD=6，
∴0＜x＜6．
故y=

1

5

x²-

6

5

x+5（0＜x＜6）；

（3）解：∵y=

1

5

x²-

6

5

x+5=

1

5

（x²-6x）+5=

1

5

（x-3）²+

16

5

，
∴當(dāng)x=3時，y有最小值

16

5

，
即當(dāng)DE的長為3時，CF長最小，最小值為

16

5

；
此時，點E與點O重合，設(shè)⊙G切△DCE三邊于M、N、P，如圖．
設(shè)EN=EM=半徑r，則CP=CN=4-r，DP=DM=3-r，
∵CP+DP=CD，
∴4-r+3-r=5，
∴r=1，
∴點G的坐標(biāo)是（-1，1）．

點評：本題考查了矩形、軸對稱、三角形外角的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，切線長定理，二次函數(shù)最值的求法，綜合性較強，難度適中．根據(jù)三角形外角的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)得出∠1=∠DCE，進(jìn)而證明△AEF∽△DCE是解題的關(guān)鍵．