Question

蕭山某校把一塊形狀相似于直角三角形廢地改造成為生物園，如圖∠ACB=90°，BC=60m，∠A=30°．
（1）若入口D在邊AB上，且與A、B等距離，請你用尺規(guī)在圖①中作出入口D以及D到C點(diǎn)的最短路線．
（2）若線段CE是一條水渠，并且E點(diǎn)在邊AB上，已知水渠造價(jià)為50元/米，那么水渠路線應(yīng)如何設(shè)計(jì)才能使造價(jià)最低，請你用尺規(guī)在圖②中作出水渠路線并求出最低造價(jià)，（保留根號）．同時(shí)請思考在AB上還能找到除D、E外的其它哪些特殊點(diǎn)？

Answer 1

考點(diǎn)：作圖—應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖

專題：

分析：（1）利用線段垂直平分線的性質(zhì)與作法得出D點(diǎn)即可；
（2）利用點(diǎn)到直線的距離垂線段最短進(jìn)而得出E點(diǎn)位置，再利用三角形面積求法得出CE的長，再利用角平分線的性質(zhì)得出另一特殊點(diǎn)．

解答：解：（1）圖①中作出AB的中垂線交AB于點(diǎn)D，連結(jié)DC，
∴點(diǎn)D與CD即為所求作的圖形；

（2）過點(diǎn)C作CE⊥AB于點(diǎn)E，
∵∠A=30°，∠ACB=90°，BC=60，
∴AB=120，AC=60

3

，
∵S=AC•BC=AB•CE，
∴CE=30

3

，
∴最低造價(jià)=30

3

×50=1500

3

（元），
還可以找到這樣的點(diǎn)：如∠ACB的角平分線與AB的交點(diǎn)，此點(diǎn)到AC、BC的距離相等．

點(diǎn)評：此題主要考查了應(yīng)用設(shè)計(jì)與作圖以及線段垂直平分線的作法等知識，熟練應(yīng)用線段垂直平分線的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．