Question

已知拋物線y=x²-2x+a與直線y=x+1有兩個公共點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），且x₂＞x₁≥0．
（1）求拋物線的對稱軸，并在所給坐標系中畫出對稱軸和直線y=x+1；
（2）試求a的取值范圍；
（3）若AE⊥x，E為垂足，BF⊥x軸，F(xiàn)為垂足，試求S_梯形ABFE的最大值．

Answer 1

（1）對稱軸x=1，

（2）方程組

y=x2-2x+a y=x+1

消去y，
得x²-3x+a-1=0．
由題意可知x₁，x₂是方程x²-3x+a-1=0的兩個不相等的根，
∴x₁+x₂=3，x₁•x₂=a-1，
∵x₂＞x₁≥0，
∴x₁•x₂≥0，
得a-1≥0，a≥1，
又△=13-4a＞0，
∴a＜

13

4

，
故1≤a＜

13

4

．

（3）∵點A，B在直線y=x+1上，
∴y₁=x₁+1，y₂=x₂+1，
∴S_梯形ABFE=

1

2

（AE+BF）×EF，
=

1

2

（y₁+y₂）（x₂-x₁）=

1

2

（x₁+x₂+2）

(x1+x2)2-4x1x2

=

5

2

13-4a

∵1≤a＜

13

4

，
∴a=1時，S_梯形ABFE取最大值

15

2

．