Question

如圖，AB為⊙O的直徑，CD與⊙O相切于點C，且OD⊥BC，垂足為F，OD交⊙O于點E．
（1）證明：；
（2）證明：∠D=∠AEC；
（3）若⊙O的半徑為5，BC=8，求△CDE的面積．

Answer 1

（1）證明：∵BC是⊙O的弦，半徑OE⊥BC，
∴．
（2）證明：連接OC，∵CD與⊙O相切于點C，
∴∠OCD=90°．
∴∠OCB+∠DCF=90°．
∵∠D+∠DCF=90°，
∴∠OCB=∠D，
∵OB=OC，
∴∠OCB=∠B，
∵∠B=∠AEC，
∴∠D=∠AEC．
（3）解：在Rt△OCF中，OC=5，CF=4，
∴OF==3．
∵∠COF=∠DOC，∠OFC=∠OCD，
∴Rt△OCF∽Rt△ODC．
∴，即．
∴DE=OD﹣OE=﹣5=．
∴=DE·CF=××4=．