Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點坐標(biāo)為（2，4），直線與軸相交于點，連結(jié)，拋物線從點沿方向平移，與直線交于點，頂點到點時停止移動．

          

（1）求線段所在直線的函數(shù)解析式；

（2）設(shè)拋物線頂點的橫坐標(biāo)為,

①用的代數(shù)式表示點的坐標(biāo)；②當(dāng)為何值時，線段最短；

（3）當(dāng)線段最短時，相應(yīng)的拋物線上是否存在點，使△的面積與△的面積相等，若存在，請求出點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）設(shè)所在直線的函數(shù)解析式為，

∵（2，4），

∴, ,

∴所在直線的函數(shù)解析式為.

（2）①∵頂點M的橫坐標(biāo)為，且在線段上移動，

       ∴（0≤≤2）.

∴頂點的坐標(biāo)為(,).

∴拋物線函數(shù)解析式為.

∴當(dāng)時，（0≤≤2）.

∴點的坐標(biāo)是（2，）

②  ∵==， 又∵0≤≤2，

∴當(dāng)時，PB最短.

（3）當(dāng)線段最短時，此時拋物線的解析式為.

假設(shè)在拋物線上存在點，使

  設(shè)點的坐標(biāo)為（，）.

①當(dāng)點落在直線的下方時，過作直線//，交軸于點，

∵，，

∴，∴，∴點的坐標(biāo)是（0，）.

∵點的坐標(biāo)是（2，3），∴直線的函數(shù)解析式為.

∵，∴點落在直線上.

∴=.

解得，即點（2，3）.

∴點與點重合.

∴此時拋物線上不存在點，使△與△的面積相等.

②當(dāng)點落在直線的上方時，

作點關(guān)于點的對稱稱點，過作直線//，交軸于點，

∵，∴，∴、的坐標(biāo)分別是（0，1），（2，5），

∴直線函數(shù)解析式為.

∵，∴點落在直線上.

∴=.

解得：，.

代入，得，.

∴此時拋物線上存在點，

使△與△的面積相等.

綜上所述，拋物線上存在點，

 使△與△的面積相等.