Question

如圖，△ABC中，CA=CB，∠ACB=90°，D為△ABC外一點(diǎn)，且AD⊥BD，BD交AC于E，G為BC上一點(diǎn)，且∠BCG=∠DCA，若AD=CG，AB=AC+BH．求證：GH⊥CG．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：證明題

分析：延長(zhǎng)CG交AB于F，易證△ADC≌△BGC，可得CD=CG，即可求得AC=AF，∠BGF=45°，即可求得BF=BH，即可證明△BGF≌△BGH，可得∠BGH=∠BGF=45°，即可解題．

解答：證明：延長(zhǎng)CG交AB于F，

∵∠CBE+∠CEB+∠BCE=180°，∠AED+∠ADE+∠DAE=180°，∠DEA=∠BEC，∠ADE=∠BCE=90°．
∴∠DAE=∠CBE，
在△ADC和△BGC中，

∠BCG=∠DCA AC=BC ∠DAE=∠CBE

，
∴△ADC≌△BGC（ASA），
∴CD=CG，
∵AD=CG，
∴AD=CD，
∵∠BCG=∠DCA，
∴∠DCG=90°，
∴∠CDG=45°，
∴∠DAC=∠DCA=∠BCG=∠CBG=22.5°，
∴∠ACF=67.5°，
∵AC=BC，
∴∠CAB=∠ABC=45°，
∴∠AFC=67.5°，∠ABG=22.5°，
∴AC=AF，∠BGF=45°，
∵AB=AC+BH，
∴BF=BH，
在△BGF和△BGH中，

BG=BG ∠CBG=∠ABG=22.5° BF=BH

，
∴△BGF≌△BGH（SAS），
∴∠BGH=∠BGF=45°，
∴∠CGH=90°，即GH⊥CG．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角相等的性質(zhì)，本題中求證△ADC≌△BGC和△BGF≌△BGH是解題的關(guān)鍵．