Question

【題目】如圖，△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝36°，AD是斜邊BC上的中線，將△ACD沿AD折疊，使點C落在點F處，線段DF與AB相交于點E．

（1）求∠BDE的度數(shù)．

（2）求證：△DEB∽△ADB．

（3）若BC＝4，求BE的長．

Answer 1

【答案】（1）36°；（2）詳見解析；（3）

【解析】

（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠C=90°-∠B=54°．由直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)得出AD=BD=CD，利用等腰三角形的性質(zhì)求出∠BAD=∠B=36°，∠DAC=∠C=54°，利用三角形內(nèi)角和定理求出∠ADC=180°-∠DAC-∠C=72°．再根據(jù)折疊的性質(zhì)得出∠ADF=∠ADC=72°，然后根據(jù)平角的定義得出∠BDE=180°-∠ADC-∠ADF=36°．

（2）根據(jù)∠B＝∠B，∠BDE＝∠BAD證明即可；

（3）由△DEB∽△ADB得，設(shè)BE＝x得方程x(x+2)=4，求解方程即可.

（1）∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠B=36°，

∴∠C=90°-∠B=54°．

∵AD是斜邊BC上的中線，

∴AD=BD=CD，

∴∠BAD=∠B=36°，∠DAC=∠C=54°，

∴∠ADC=180°-∠DAC-∠C=72°．

∵將△ACD沿AD對折，使點C落在點F處，

∴∠ADF=∠ADC=72°，

∴∠BDE=180°-∠ADC-∠ADF=180°-72°-72°=36°．

（2）∵∠BAC＝90°，AD是斜邊BC上的中線，

∴AD＝BD，

∵∠B＝36°，∴∠BAD＝36°，

∵∠BDE＝36°，

∴∠B＝∠B，∠BDE＝∠BAD，

∴△DEB∽△ADB．

（3）∵△DEB∽△ADB，

∴，設(shè)BE＝x，

∵BC＝4，

∴，

∴BE＝x＝