Question

如圖：⊙O₁與⊙O₂相交于A、B兩點，直線CD分別切⊙O₁于C，切⊙O₂于D，連結CA并延長BD于點E，連結DA并延長交BC于F，連結BA并延長交CD于G．求證：
（1）∠CBD+∠EAF=180°；
（2）GD=GC；
（3）AC•DB=CB•AD．

Answer 1

考點：圓的綜合題,弦切角定理,相似三角形的判定與性質

專題：證明題

分析：（1）由弦切角定理可得∠GDA=∠DBA，∠GCA=∠CBA，根據(jù)三角形內角和定理可證到∠CBD+∠CAD=180°，再根據(jù)對頂角相等就可得到∠CBD+∠EAF=180°．
（2）由∠GDA=∠DBA可證到△DGA∽△BGD，從而可得GD²=GA•GB，同理GC²=GA•GB，從而得到GD=GC．
（3）由△DGA∽△BGD可得

AD

BD

=

AG

DG

，同理可得

AC

BC

=

AG

CG

，由GD=GC可得

AD

BD

=

AC

BC

，從而有AC•DB=CB•AD．

解答：解：（1）∵直線CD分別切⊙O₁于C，切⊙O₂于D，
∴由弦切角定理可得：∠GDA=∠DBA，∠GCA=∠CBA．
∵∠CAD+∠GCA+∠GDA=180°，
∴∠CAD+∠CBA+∠DBA=180°．
∴∠CAD+∠CBD=180°．
∵∠CAD=∠EAF，
∴∠EAF+∠CBD=180°．

（2）∵∠GDA=∠DBA，∠AGD=∠DGB，
∴△DGA∽△BGD．
∴

GD

GB

=

GA

GD

．
∴GD²=GA•GB．
同理可得：GC²=GA•GB．
∴GD=GC．

（3）∵△DGA∽△BGD，
∴

AD

BD

=

AG

DG

．
同理可得：

AC

BC

=

AG

CG

．
∵GD=GC，
∴

AD

BD

=

AC

BC

．
∴AC•DB=CB•AD．

點評：本題考查了弦切角定理、相似三角形的判定與性質、三角形內角和定理、對頂角相等等知識，而運用相似三角形的性質是解決本題的關鍵．