Question

已知：如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB為直徑．∠CBA的平分線交AC于點F，交⊙O于點D．DE⊥AB于點E，且交AC于點P．連結AD，
求證：
（1）∠DAC=∠DBA；
（2）P是線段AF的中點．

Answer 1

考點：圓周角定理

專題：證明題

分析：（1）根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得∠CBD=∠DBA，由圓周角定理可得∠DAC=∠CBD，繼而可得出結論；
（2）根據(jù)等角的余角相等，得出∠ADE=∠ABD，結合（1）可得PA=PD，再由等角的余角相等得出∠PDF=∠PFD，繼而得出PD=PF，然后可得結論．

解答：解：（1）∵BD平分∠CBA，
∴∠CBD=∠DBA，
∵∠DAC與∠CBD都是弧CD所對的圓周角，
∴∠DAC=∠CBD，
∴∠DAC=∠DBA．

（2）∵AB為直徑，
∴∠ADB=90°，
又∵DE⊥AB于點E，
∴∠DEB=90°，
∴∠ADE+∠EDB=∠ABD+∠EDB=90°，
∴∠ADE=∠ABD=∠DAP，
∴PD=PA，
又∵∠DFA+∠DAC=∠ADE+∠PDF=90°且∠ADE=∠DAP，
∴∠PDF=∠PFD，
∴PD=PF，
∴PA=PF，即P是線段AF的中點．

點評：本題考查了圓的綜合，涉及了圓周角定理、等腰三角形的判定與性質(zhì)及相似三角形的判定與性質(zhì)，解答本題的關鍵是掌握相似三角形的對應邊成比例，同弧所對的圓周角相等，注意數(shù)形結合思想運用．