Question

19．由方差的計算公式s²=$\frac{1}{n}$[（x₁-$\overline{x}$）²+（x₂-$\overline{x}$）²+…+（x_n-$\overline{x}$）²]，容易得出方差的如下性質(zhì)：
性質(zhì)1：任何一組實數(shù)的方差都是非負實數(shù)．
性質(zhì)2：若一組實數(shù)數(shù)據(jù)的方差為零，則該組數(shù)據(jù)均相等，且都等于該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)；
請運用這兩個性質(zhì)和方差計算公式，解決下面的問題：
已知x+y=2，xy-z²=1，求x+y+z的值．

Answer 1

分析 由題意，首先算出數(shù)x、y的平均數(shù)，求x、y的方差，變形代入用含z的代數(shù)式表示出方差，由非常的性質(zhì)2，得到z的值是0，然后計算x+y+z．

解答 解：有x+y=2，得x、y的平均數(shù)為$\frac{x+y}{2}$=1，由xy=z²+1
所以x、y的方差為s²=$\frac{1}{2}$[（x-1）²+（y-1）²]
=$\frac{1}{2}$[x²-2x+1+y²-2y+1]
=$\frac{1}{2}$[x²+2xy+y²-2xy-2（x+y）+2]
=$\frac{1}{2}$[（x+y）²-2xy-2（x+y）+2]
=$\frac{1}{2}$[4-2z²-2-4+2]
=$\frac{1}{2}$[-2z²]
=-z²
∵s²≥0
∴-z²≥0即z²≤0
∴z=0
∴x+y+z=2+0=2．

點評 本題考查了方差的性質(zhì)．解決本題的關(guān)鍵是把求值問題轉(zhuǎn)化為方差問題，利用方差的性質(zhì)求解．