Question

【題目】如圖，拋物線的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊），與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D為拋物線的頂點(diǎn)．點(diǎn)A坐標(biāo)的為，點(diǎn)C的坐標(biāo)為．

（Ⅰ）求拋物線的解析式；

（Ⅱ）點(diǎn)M為線段上一點(diǎn)（點(diǎn)M不與點(diǎn)A、B重合），過點(diǎn)M作i軸的垂線，與直線交于點(diǎn)E，與拋物線交于點(diǎn)P，過點(diǎn)P作交拋物線于點(diǎn)Q，過點(diǎn)Q作軸于點(diǎn)N．若點(diǎn)P在點(diǎn)Q左邊，當(dāng)矩形的周長最大時，求的面積；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，當(dāng)矩形的周長最大時，連接，過拋物線上一點(diǎn)F作y軸的平行線，與直線交于點(diǎn)G（點(diǎn)G在點(diǎn)F的上方）．若，求點(diǎn)F的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）或

【解析】

（Ⅰ）將點(diǎn)A，點(diǎn)C坐標(biāo)代入解析式可求解；
（Ⅱ）設(shè)M（x，0），P（x，-x2-2x+3），利用對稱性可求點(diǎn)Q（-2-x，-x2-2x+3），可求MP=-x2-2x+3，PQ=-2-x-x=-2-2x，則可用x表示矩形PMNQ的周長，由二次函數(shù)的性質(zhì)可求當(dāng)矩形PMNQ的周長最大時，點(diǎn)P的坐標(biāo)，即可求點(diǎn)E，點(diǎn)M的坐標(biāo)，由三角形面積公式可求解；
（Ⅲ）先求出點(diǎn)D坐標(biāo)，即可求DQ=，可得FG=4，設(shè)F （m，-m2-2m+3），則G （m，m+3），用含有m的式子表示FG的長度即可求解．

解:（Ⅰ）依題意

解得

所以

（Ⅱ）

拋物線的對稱軸是直線

，，其中

∵P、Q關(guān)于直線對稱

設(shè)Q的橫坐標(biāo)為a

則

∴

∴

∴，

∴周長

當(dāng)時，d取最大值，此時，

∴

設(shè)直線的解析式為

則，解得

∴設(shè)直線的解析式為

將代入，得

∴，

∴

∴

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，當(dāng)矩形的周長最大時，此時點(diǎn)，與點(diǎn)C重合，

∴

∵

∴

過D作軸于K，

則，

∴

∴是等腰直角三角形，

∴

設(shè)，則

∴，解得，

當(dāng)時，

當(dāng)時，．

∴或