Question

5．如圖，已知四邊形ABCD是正方形，△AEF是等邊三角形，E、F分別位于DC邊和BC邊上．
（1）求∠DAE的度數(shù)；
（2）若正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，求等邊三角形AEF的面積；
（3）將△AEF繞著點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)m（0＜m＜180）度，使得點(diǎn)A落在正方形ABCD的邊上，求m的值．

Answer 1

分析 （1）由四邊形ABCD是正方形，得到AB=AD，AF=AE，∠B=∠D=90°，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠DAE=∠BAF，于是得到結(jié)論；
（2）設(shè)BF=x，由（1）可知DE=BF=x，則，CF=CE=1-x根據(jù)勾股定理列方程得到x=2$-\sqrt{3}$，根據(jù)圖形的面積公式即可得到結(jié)論；
（3）依題意，點(diǎn)A可落在AB邊上或BC邊上．當(dāng)點(diǎn)A落在AB邊上時(shí)，設(shè)此時(shí)點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為M，則EA=EM，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠EMB=75°，于是得到m=∠AEM=180°-75°-75°=30°，當(dāng)點(diǎn)A落在邊BC上時(shí)，得到m=∠AEF=60°．

解答 解：（1）∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=AD，AF=AE，∠B=∠D=90°，
在Rt△ABF與Rt△ADE，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{AF=AE}\end{array}\right.$，
∴Rt△ABF≌Rt△ADE，
∴∠DAE=∠BAF
又∠DAE+∠BAF=∠BAD-∠EAF=90°-60°=30°
∴∠DAE=15°；

（2）設(shè)BF=x，由（1）可知DE=BF=x，則，CF=CE=1-x
AB²+BF²=AF²，CF²+CE²=EF²，AF=EF，得：1²+x²=2（1-x）²
x₁=2+$\sqrt{3}$，x₂=2$-\sqrt{3}$，
∵0＜x＜1，
∴x₁=2+$\sqrt{3}$ （舍去），x=2$-\sqrt{3}$，
∴S_△AEF=S_{四邊形ABCD}-2S_△ABF-S_△EFC=1²-2×$\frac{1}{2}×$1×（2-$\sqrt{3}$）-$\frac{1}{2}×$（$\sqrt{3}$-1）²=2$\sqrt{3}$-3；

（3）依題意，點(diǎn)A可落在AB邊上或BC邊上．
當(dāng)點(diǎn)A落在AB邊上時(shí)，設(shè)此時(shí)點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為M，則EA=EM，
∵∠EAB=75°，
∴∠EMB=75°，
∴m=∠AEM=180°-75°-75°=30°，
當(dāng)點(diǎn)A落在邊BC上時(shí)，
∵EA=EF，點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)后與點(diǎn)F重合，
∴m=∠AEF=60°，
綜上，m=30°或m=60°．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握各性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．