Question

【題目】如圖，拋物線與軸相交于兩點(diǎn)（點(diǎn)位于點(diǎn)的左側(cè)），與軸相交于點(diǎn)，是拋物線的頂點(diǎn)，直線是拋物線的對(duì)稱(chēng)軸，且點(diǎn)的坐標(biāo)為．

（1）求拋物線的解析式．

（2）已知為線段上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)．若的面積為．

①求與之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出自變量的取值范圍；

②當(dāng)取得最值時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)．

（3）在（2）的條件下，在線段上是否存在點(diǎn)，使為等腰三角形？如果存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①；②當(dāng)時(shí)，取得最大值，此時(shí)；（3）存在，點(diǎn)的坐標(biāo)為或．

【解析】

（1）點(diǎn)C坐標(biāo)代入解析式可求c的值，由對(duì)稱(chēng)軸可求b的值，即可求解；
（2）①先求出點(diǎn)M，點(diǎn)A，點(diǎn)B的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求BM解析式，由三角形的面積公式可求解；
②利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求解；
（3）分三種情況討論，利用兩點(diǎn)距離公式列出方程可求解．

（1）拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為直線．

又拋物線與軸的交點(diǎn)為，

拋物線的解析式為．

（2）①頂點(diǎn)．

設(shè)直線的解析式為．

將代入，

得解得

直線的解析式為．

軸且，

的面積．

點(diǎn)在線段上，且，

，

故與之間的函數(shù)關(guān)系式為．

②，

當(dāng)時(shí)，取得最大值；

當(dāng)時(shí)，沒(méi)有最小值．

綜上，當(dāng)時(shí)，取得最大值，此時(shí)

（3）存在．

當(dāng)時(shí)，

，

，

解得（舍去）或，此時(shí)．

當(dāng)時(shí)，

解得（舍去）或，此時(shí)．

當(dāng)時(shí)，

，

，

解得或，均不符合題意，舍去．

綜上所訴，存在點(diǎn)使為等腰三角形，點(diǎn)的坐標(biāo)為或．