Question

【題目】如圖，在矩形OABC中，點A在x軸的正半軸，點C在y軸的正半軸．拋物線y= x2﹣ x+4經(jīng)過點B，C，連接OB，D是OB上的動點，過D作DE∥OA交拋物線于點E（在對稱軸右側(cè)），過E作EF⊥OB于F，以ED，EF為鄰邊構(gòu)造DEFG，則DEFG周長的最大值為 ．

Answer 1

【答案】
【解析】解：當(dāng)x=0時，y= x2﹣ x+4=4， ∴點C（0，4）；
∵y= x2﹣ x+4=4 ，
∴拋物線的對稱軸為x= ，
∵四邊形OABC為矩形，
∴B（3，4）．
設(shè)直線OB的解析式為y=kx，
將B（3，4）代入y=kx中，
4=3k，解得：k= ，
∴直線OB的解析式為y= x．
在Rt△OAB中，OA=3，AB=4，
∴OB= =5．
∵DE∥OA，
∴∠BOA=∠EDF，
∵EF⊥OB，
∴
∴EF= DE，
∴DEFG周長=2（EF+DE）= DE．
設(shè)點D的坐標(biāo)為（ m，m），則點E的坐標(biāo)為（ + ，m），
∴DE= + ﹣ m=﹣ （m﹣ ）+ =﹣ + ，
∴當(dāng)m= 時，DE取最大值 ，此時DEFG周長取最大值 ．
所以答案是 ．
【考點精析】掌握二次函數(shù)的性質(zhì)和二次函數(shù)的最值是解答本題的根本，需要知道增減性：當(dāng)a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減��；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當(dāng)a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小；如果自變量的取值范圍是全體實數(shù)，那么函數(shù)在頂點處取得最大值（或最小值），即當(dāng)x=-b/2a時，y最值=(4ac-b2)/4a．