Question

19．如圖，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，點E是BC邊上一點，將△ABE沿AE折疊，使點B落在點B′處．
（1）矩形ABCD的面積=48；
（2）當△CEB′為直角三角形時，BE=3或6．

Answer 1

分析 （1）直接利用矩形的面積求出答案；
（2）當△CEB′為直角三角形時，有兩種情況：①當點B′落在矩形內(nèi)部時，如答圖1所示．連結(jié)AC，先利用勾股定理計算出AC=10，根據(jù)折疊的性質(zhì)得∠AB′E=∠B=90°，而當△CEB′為直角三角形時，只能得到∠EB′C=90°，所以點A、B′、C共線，即∠B沿AE折疊，使點B落在對角線AC上的點B′處，則EB=EB′，AB=AB′=6，可計算出CB′=4，設(shè)BE=x，則EB′=x，CE=8-x，然后在Rt△CEB′中運用勾股定理可計算出x．
②當點B′落在AD邊上時，如答圖2所示．此時四邊形ABEB′為正方形．

解答 解：（1）∵在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，
∴矩形ABCD的面積=6×8=48；
故答案為：48；

（2）當△CEB′為直角三角形時，有兩種情況：

①當點B′落在矩形內(nèi)部時，如答圖1所示．
連結(jié)AC，
在Rt△ABC中，AB=6，BC=8，
∴AC=$\sqrt{{8}^{2}+{6}^{2}}$=10，
∵∠B沿AE折疊，使點B落在點B′處，
∴∠AB′E=∠B=90°，
當△CEB′為直角三角形時，只能得到∠EB′C=90°，
∴點A、B′、C共線，即∠B沿AE折疊，使點B落在對角線AC上的點B′處，如圖，
∴EB=EB′，AB=AB′=6，
∴CB′=10-6=4，
設(shè)BE=x，則EB′=x，CE=8-x，
在Rt△CEB′中，
∵EB′²+CB′²=CE²，
∴x²+4²=（8-x）²，
解得x=3，
∴BE=3；
②當點B′落在AD邊上時，如答圖2所示．

此時ABEB′為正方形，
∴BE=AB=6．
綜上所述，BE的長為3或6．
故答案為：3或6．

點評 本題考查了折疊問題：折疊前后兩圖形全等，即對應(yīng)線段相等；對應(yīng)角相等．也考查了矩形的性質(zhì)以及勾股定理．注意本題有兩種情況，需要分類討論，避免漏解．