Question

【題目】已知：在矩形和中，，.

（1）如圖1，當點在對角線上，點在邊上時，連接，取的中點，連接，，則與的數量關系是_____，_____；

（2）如圖2，將圖1中的繞點旋轉，使點在的延長線上，（1）中的其他條件不變.

①（1）中與的數量關系仍然成立嗎？請證明你的結論；

②求的度數.

Answer 1

【答案】（1），；（2），.

【解析】

（1）根據直角三角形斜邊上中線性質得ME=MD，根據含有30°的直角三角形性質∠EMC=∠EMF+∠CMF=2（∠MDE+∠MDC）=2∠BDC，由∠DBC=30°，得∠BDC=90°-30°=60°，∠EMC=2∠BDC=2×60°=120°；（2）①分別延長EM，CD交于點G，根據矩形性質證△FEM≌△DGM，得ME=GM，在Rt△GEC中，MC=EG=ME；②如圖3，分別延長FE，DB交于點H，證△FEB≌△HEB．得FE=HE．根據EM∥HD，得∠7=∠4=30°，∠7=∠8=30°，∠EMC=180°-∠7-∠8=180°-30°-30°=120°．

（1）如圖1，
，
∵∠BEF=90°，
∴∠DEF=90°，
∵點M是DF的中點，
∴ME=MD，
∵∠BCD=90°，點M是DF的中點，
∴MC=MD，
∴ME=MC；
∵ME=MD，
∴∠MDE=∠MED，
∴∠EMF=∠MDE+∠MED=2∠MDE，
∵MC=MD，
∴∠MDC=∠MCD，
∴∠CMF=∠MDC+∠MCD=2∠MDC，
∴∠EMC=∠EMF+∠CMF=2（∠MDE+∠MDC）=2∠BDC，
又∵∠DBC=30°，
∴∠BDC=90°-30°=60°，
∴∠EMC=2∠BDC=2×60°=120°．
（2）①ME=MC仍然成立．
證明：如圖2，分別延長EM，CD交于點G，
，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠DCB=90°．
∵∠BEF=90°，
∴∠FEB+∠DCB=180°．
∵點E在CB的延長線上，
∴FE∥DC．
∴∠1=∠G．
∵M是DF的中點，
∴FM=DM．
在△FEM和△DGM中，
，
∴△FEM≌△DGM，
∴ME=GM，
∴在Rt△GEC中，
MC=EG=ME，
∴ME=MC．
②如圖3，分別延長FE，DB交于點H，
，
∵∠4=∠5，∠4=∠6，
∴∠5=∠6．
∵點E在直線FH上，∠FEB=90°，
∴∠HEB=∠FEB=90°．
在△FEB和△HEB中，
，
∴△FEB≌△HEB．
∴FE=HE．
∵FM=MD，

∴EM是三角形FHD的中位線，
∴EM∥HD，
∴∠7=∠4=30°，
∵ME=MC，
∴∠7=∠8=30°，
∴∠EMC=180°-∠7-∠8=180°-30°-30°=120°．
故答案為：ME=MC，120．