Question

20．如圖，一直線與反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（k＞0）交于A、B兩點，直線與x軸、y軸分別交于C、D兩點，過A、B兩點分別向x軸、y軸作垂線，H、E、F、I為垂足，連接EF，延長AE、BF相交于點G．
（1）矩形OFBI與矩形OHAE的面積之和為2k；（用含k的代數(shù)式表示）；
（2）說明線段AC與BD的數(shù)量關系；
（3）若直線AB的解析式為y=2x+2，且AB=2CD，求反比例函數(shù)的解析式．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)反比例函數(shù)的面積不變性進行計算；（2）先根據(jù)條件判定△EGF∽△AGB，得出∠GAB=∠GEF，進而判定四邊形AEFC和四邊形BDEF都是平行四邊形，最后根據(jù)平行四邊形的對邊相等得出結(jié)論；（3）將B的坐標設為（a，2a+2），根據(jù)直角三角形BDI的勾股定理列出方程，求得a的值即可得到B的坐標，進而代入反比例函數(shù)求解．

解答 解：（1）∵點A、B均在反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（k＞0）的圖象上，
∴S_矩形OFBI=S_矩形OHAE=|k|=k，
∴矩形OFBI與矩形OHAE的面積之和為2k．
（2）∵S_矩形OFBI=S_矩形OHAE=k，
∴S_矩形OEGF+S_矩形OHAE=S_矩形OFBI+S_矩形OEGF
即S_矩形AGFH=S_矩形BIEG
∴GA•GF=GE•GB
即$\frac{GE}{GA}=\frac{GF}{GB}$
∵∠EGF=∠AGB
∴△EGF∽△AGB
∴∠GAB=∠GEF
∴EF∥AB
∵CF∥AE，BF∥DE
∴四邊形AEFC和四邊形BDEF都是平行四邊形
∴AC=EF，BD=EF
∴AC=BD
（3）∵直線AB解析式為y=2x+2
∴C（-1，0），D（0，2）
∴CD=$\sqrt{5}$
∵AB=2CD
∴AC+BD=CD
又∵AC=BD
∴BD=$\frac{1}{2}$CD=$\frac{\sqrt{5}}{2}$
設B的坐標為（a，2a+2）
在直角三角形BDI中，BI=a，ID=2a+2-2=2a
∴a²+（2a）²=（$\frac{\sqrt{5}}{2}$）²
解得a₁=$\frac{1}{2}$，a₂=-$\frac{1}{2}$（舍去）
∴B（$\frac{1}{2}$，3）
將B的坐標代入反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$，得k=$\frac{3}{2}$
∴反比例函數(shù)的解析式為：y=$\frac{3}{2x}$

點評 本題主要考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，解決問題的關鍵是掌握反比例函數(shù)的面積不變性以及平行四邊形的判定方法．解題時注意，反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點坐標，同時滿足兩個函數(shù)關系式，因此可以將B的坐標設為（a，2a+2），使計算更加簡潔方便．