Question

19．已知：如圖，AD∥BC，EF垂直平分BD，與AD，BC，BD分別交于點E，F(xiàn)，O．求證：
（1）△BOF≌△DOE；
（2）DE=DF．

Answer 1

分析 （1）由線段垂直平分線的定義可知OB=OD，且∠BOF=∠EOD，利用平行可得∠BFO=∠DEO，利用AAS可證明△BOF≌△DOE；
（2）由（1）中的全等可得OE=OF，可知BD是EF的垂直平分線，可得DE=DF．

解答 證明：
（1）∵AD∥BC，
∴∠BFO=∠DEO，
∵EF垂直平分BD，
∴OB=OD，∠BOF=∠DOE=90°，
在△BOF和△DOE中
$\left\{\begin{array}{l}{∠BOF=∠DOE}\\{∠BFO=∠DEO}\\{OB=OD}\end{array}\right.$
∴△BOF≌△DOE（AAS）；
（2）由（1）可知△BOF≌△DOE，
∴OE=OF，且BD⊥EF，
∴BD為線段EF的垂直平分線，
∴DE=DF．

點評 本題主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)及線段垂直平分線的性質(zhì)，利用條件證明△BOF≌△DOE是解題的關(guān)鍵．