Question

如圖，Rt△ABC中，∠ABC=90°以AB為直徑的⊙O交AB于點D，點E為BC的中點，連接DE．
（1）求證：DE是⊙O的切線．
（2）若∠BAC=30°，DE=3，求AD的長．

Answer 1

考點：切線的判定

專題：

分析：（1）如圖，作輔助線；根據(jù)題意結合圖形，證明∠ODE=90°，即可解決問題．
（2）首先求出BC=6，進而求出BD的值；運用直角三角形的性質(zhì)求出AD的值，即可解決問題．

解答： （1）證明：連接OD、BD，
∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ADB=∠CDB=90°；
又∵點E為BC的中點，
∴BE=DE，
∴∠BDE=∠EBD；
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA；    
又∵∠OAD+∠OBD=90°，∠EBD+∠OBD=90°，
∴∠OAD=∠EBD，即∠ODA=∠BDE；
∴∠ODE=∠BDE+∠ODB=∠ODA+∠ODB=90°，
又∵點D在⊙O上，
∴DE是圓⊙O的切線．
（2）解：由（1）知BC=2DE=6，
又∵∠CBD=∠BAC=30°，
∴CD=3，BD=3

3

∴AB=6

3

；
由勾股定理得：AD=9．

點評：該題主要考查了切線的判定、圓周角定理及其推論、勾股定理、直角三角形的性質(zhì)等幾何知識點及其應用問題；牢固掌握圓周角定理及其推論、勾股定理等知識點是解題的關鍵．