Question

如圖1，在△ABC中，AB=BC=5，AC=6，BO⊥AC，垂足為點O．過點A作射線AE∥BC，點P是邊BC上任意一點，連接PO并延長與射線AE相交于點Q，設(shè)B、P兩點間的距離為x．
（1）如圖2，如果四邊形ABPQ是平行四邊形，求x的值；
（2）過點Q作直線BC的垂線，垂足為點R，當(dāng)x為何值時，△PQR∽△CBO？
（3）設(shè)△AOQ的面積為y，求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出函數(shù)的定義域．

Answer 1

分析：（1）首先根據(jù)等腰三角形的三線合一定理，得到OA=OC=

1

2

AC=3，再由相似三角形的判定，得到比例線段，問題即可得解；
（2）首先根據(jù)當(dāng)x=0或5時，以及當(dāng)x≠0或5時，然后可求得BP的長；
（3）首先根據(jù)AAS，證明△AOQ≌△COP，再根據(jù)三角形面積的求解方法，表示出△OPC的高與低即可求解．

解答：解：（1）∵AB=BC=5，AC=6，BO⊥AC，
∴OA=OC=

1

2

AC=3，
∵四邊形ABPQ是平行四邊形，
∴AQ∥BC，AQ=BP，
∴AQ：CP=OA：OC=1，
∴AQ=CP，
∴BP=CP=

1

2

BC=2.5，
∴x=2.5；

（2）當(dāng)x=0或5時，易得△PQR∽△CBO，
當(dāng)x≠0或5時，
∵BO⊥AC，QR⊥BC，
∴∠BOC=∠QRP=90°，
當(dāng)∠C=∠QPR時，△PQR∽△CBO，
∴OP=OC=3，QP：BC=QR：OB，
∵AE∥BC，OB=4，
∴△AOQ∽△COP，
∴OQ：OP=OA：OC=1，
∵QP=6，
∴QR=

QP•OB

BC

=

6×4

5

=

24

5

，
過點O作OK⊥BC，垂足為K，
∴

OK

QR

=

OP

QP

=

1

2

，
∴OK=

12

5

，
∴PK=

9

5

，
∴PC=

18

5

，
∴BP=

7

5

；
∴當(dāng)x=0、5或

7

5

時，△PQR∽△CBO．

（3）∵AE∥BC，
∴∠EAC=∠C，∠AOQ=∠COP，
∵OA=OC，
∴△AOQ≌△COP，
∴S_△AOQ=S_△COP=y，
∵OK=

12

5

，
∴y=S_△COP=

PC•OK

2

=

12 5 (5-x)

2

=6-

6

5

x（0≤x＜5）．

點評：本題考查了相似三角形與全等三角形的判定與性質(zhì)，以及直角三角形的性質(zhì)和三角形面積的求解．此題屬于綜合性比較強的題目，解題時注意仔細(xì)識圖．