Question

如圖所示，Rt△ABC中，∠ACB＝，BD＝BC，ED⊥AB交AC于點E，CD與BE相交于F．求證：BE垂直且平分CD．

Answer 1

答案：
解析：

證法一：∵ED⊥AB， 　　∴∠EDB＝． 　　∵BD＝BC，EB＝EB， 　　∴Rt△EDB≌Rt△ECB(HL)， 　　∴∠EBD＝∠EBC， 　　∴BF是∠CBD的角平分線． 　　∵BD＝BC， 　　∴△CDB是等腰三角形， 　　∴BF⊥CD，DF＝CF， 　　∴BE垂直且平分CD． 　　證明二：∵BD＝BC， 　　∴B在CD的垂直平分線上，(要證明一條直線垂直平分另一條線段，就要找到直線上的點到該線段兩個端點的距離．) 　　∴∠BCD＝∠BDC． 　　∵ED⊥AB， 　　∴∠EDB＝． 　　∵∠ACB＝， 　　∴∠ACB＝∠EDB． 　　∵∠EDC＝∠EDB－∠CDB， 　　∠ECD＝∠ACB－∠DCB， 　　∴∠EDC＝∠ECD， 　　∴ED＝CE， 　　∴E在CD的垂直平分線上， 　　∴BE是CD的垂直平分線．

提示：

注：方法一利用了等腰三角形三線合一的性質(zhì)，方法二根據(jù)垂直平分線的定義來證明．