Question

如圖，在△ABC中，AB=AC，中線BD，CE交于點M，EG∥BD，DF∥CE，EG與DF交于點N，連結DE，MN．
（1）猜想線段MN與DE間的關系；
（2）試證明你的猜想．

Answer 1

考點：菱形的判定,三角形中位線定理

專題：

分析：（1）MN與DE互相垂直平分；
（2）先由EG∥BD，DF∥CE，根據(jù)平行四邊形的定義得出四邊形MEND是平行四邊形．再由SAS證明△EBC≌△DCB，得出∠DBC=∠ECB，由平行線的性質(zhì)得到
∠DEN=∠EDN，則NE=ND，即平行四邊形MEND是菱形，從而得出MN垂直平分ED．

解答：（1）解：MN與DE互相垂直平分；

（2）證明：∵EG∥BD，DF∥CE，
∴四邊形MEND是平行四邊形．
∵AB=AC，CE，BD是中線，
∴EB=DC，∠ABC=∠ACB，ED∥BC，
∴△EBC≌△DCB，∠DEC=∠ECB，
∴∠DBC=∠ECB，
∴∠DEN=∠EDN，
∴NE=ND，
∴平行四邊形MEND是菱形，
∴MN垂直平分ED．

點評：本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，菱形的判定與性質(zhì)，三角形中位線定理，平行線的性質(zhì)，綜合性較強，難度適中．