Question

8．二次函數(shù)y=ax²+bx+c的圖象如圖所示，P（n，2）是圖象上的一點(diǎn)，且AP⊥BP，則a=（　　）

• A． -2
• B． -3
• C． -$\frac{1}{2}$
• D． -$\frac{1}{3}$

Answer 1

分析 首先設(shè)ax²+bx+c=0的兩根分別為x₁與x₂，根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，即可得x₁+x₂=-$\frac{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$，由AP⊥BP，根據(jù)勾股定理可得（x₁-n）²+4+（x₂-n）²+4=（x₁-x₂）²，則可得an²+bn+c=-4a，又由P（n，2）是圖象上的一點(diǎn)，可得an²+bn+c=2，繼而可求得a的值．

解答 解：設(shè)ax²+bx+c=0的兩根分別為x₁與x₂．
∴x₁+x₂=-$\frac{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$，
∵AP⊥BP，
∴AP²+BP²=AB²．
∴（x₁-n）²+4+（x₂-n）²+4=（x₁-x₂）²，
化簡(jiǎn)得：n²-n（x₁+x₂）+4+x₁x₂=0．
∴n²+$\frac{a}$n+4+$\frac{c}{a}$=0，
∴an²+bn+c=-4a．
∵（n，2）是圖象上的一點(diǎn)，
∴an²+bn+c=2，
∴-4a=2，
∴a=-$\frac{1}{2}$．
故選C．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系以及勾股定理等知識(shí)．此題綜合較強(qiáng)，難度較大，解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用．