Question

一開(kāi)口向上的拋物線與x軸交于A（m-2，0），B（m+2，0）兩點(diǎn)，記拋物線頂點(diǎn)為C，且AC⊥BC。
（1）若m為常數(shù)，求拋物線的解析式；
（2）若m為小于0的常數(shù)，那么（1）中的拋物線經(jīng)過(guò)怎么樣的平移可以使頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)？
（3）設(shè)拋物線交y軸正半軸于D點(diǎn)，是否存在實(shí)數(shù)m，使得△BOD為等腰三角形？若存在，求出m的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

Answer 1

解：（1）設(shè)拋物線的解析式為：y=a（x-m+2）（x-m-2）=a（x-m）²-4a，
∵ AC⊥BC，
由拋物線的對(duì)稱性可知：△ACB是等腰直角三角形，
又AB=4，
∴C（m，-2），
代入解析式得，
∴拋物線的解析式為：y=；
（亦可先求C點(diǎn)，設(shè)頂點(diǎn)式求解）
（2）∵m為小于零的常數(shù)，
∴只需將拋物線向右平移-m個(gè)單位，再向上平移2個(gè)單位，可以使拋物線頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)；
（3）由（1）得，設(shè)存在實(shí)數(shù)m，使得△BOD為等腰三角形，
∵△BOD直角三角形，且∠BOD=90°，
∴只能有OD=OB，
∴，
當(dāng)m+2>0時(shí)，解得m=4或m=-2（舍去），
當(dāng)m+2<0時(shí)，解得m=0（舍去）或m=-2（舍去）；
當(dāng)m+2=0，即m=-2時(shí)，B、O、D三點(diǎn)重合（不合題意，舍去），
綜上所述：存在實(shí)數(shù)m=4，使得△BOD為等腰三角形。