Question

10．若x₁，x₂是關(guān)于x的方程x²+bx+c=0的兩實根，且x₁²+3x₂²=3|k|（k為整數(shù)），則稱方程x²+bx+c=0為“B系二次方程”，如：x²+2x-3=0，x²+2x-15=0，x²+3x-$\frac{27}{4}$=0，x²+x-$\frac{15}{4}$=0，x²-2x-3=0，x²-2x-15=0等，都是“B系二次方程”．請問：對于任意一個整數(shù)b，是否存在實數(shù)c，使得關(guān)于x的方程x²+bx+c=0是“B系二次方程”，并說明理由．

Answer 1

分析 由條件x²-2x-15=0，x²+2x-15=0是“B系二次方程”進行建模，設(shè)c=mb²+n，就可以表示出c，然后根據(jù)公式法求出其兩根，再代入x₁²+3x₂²看結(jié)果是否為3的整數(shù)倍即可得出結(jié)論．

解答 解：存在．
理由：x²-2x-15=0，x²+2x-15=0是“B系二次方程”，
∴假設(shè)c=mb²+n，
當(dāng)b=-2，c=-15時，-15=4m+n，
∵x²=0是“B系二次方程”，
∴n=0時，m=-$\frac{15}{4}$，
∴c=-$\frac{15}{4}$b²，
∵x²+2x-15=0，是“B系二次方程”，
當(dāng)b=2時，c=-$\frac{15}{4}$×2²，
∴可設(shè)c=-$\frac{15}{4}$b²，
對于任意一個整數(shù)b，當(dāng)c=-$\frac{15}{4}$b²時，△=b²-4ac=16b²．
∴x=$\frac{-b±4b}{2}$，
即x₁=$\frac{3}{2}$b，x₂=-$\frac{5}{2}$b，
∴x₁²+3x₂²=$\frac{9}{4}$b²+3×$\frac{25}{4}$b²=21b²，
∵b是整數(shù)，
∴對于任何一個整數(shù)b，當(dāng)c=-$\frac{15}{4}$b²時，關(guān)于x的方程x²+bx+c=0是“B系二次方程”．

點評 本題主要考查了根與系數(shù)的關(guān)系，解決問題需要掌握一元二次方程的解法的運用、根的判別式的運用以及數(shù)學(xué)建模思想的運用，解答本題時根據(jù)條件特征建立模型是關(guān)鍵．