Question

(1)如圖1，在△ABC中，BA＝BC，D，E是AC邊上的兩點，且滿足∠DBE＝∠ABC(0°＜∠CBE＜∠ABC)，以點B為旋轉(zhuǎn)中心，將△BEC按逆時針旋轉(zhuǎn)，得到△BE′A(點C與點A重合，點E到點E′處)連接DE′.

求證：DE′＝DE.

(2)如圖2，在△ABC中，BA＝BC，∠ABC＝90°，D，E是AC邊上的兩點，且滿足∠DBE＝∠ABC(0°＜∠CBE＜∠45°)．

求證：DE2＝AD2＋EC2.

 

Answer 1

（1）（2）見解析

【解析】

(1)證明：∵∠DBE＝∠ABC，

∴∠ABD＋∠CBE＝∠DBE＝∠ABC，

∵△ABE′由△CBE旋轉(zhuǎn)而成，

∴BE＝BE′，∠ABE′＝∠CBE，

∴∠DBE′＝∠DBE，

在△DBE與△DBE′中，

∵BE＝BE′，∠DBE＝∠DBE′

BD＝BD

∴△DBE≌△DBE′(SAS)，∴DE′＝DE.

(2)如圖所示：把△CBE旋轉(zhuǎn)90°，

連接DE′，

∵BA＝BC，∠ABC＝90°，

∴∠BAC＝∠BCE＝45°，

∴圖形旋轉(zhuǎn)后點C與點A重合，CE與AE′重合，

∴AE′＝EC，

∴∠E′AB＝∠BCE＝45°，

∴∠DAE′＝90°，

在Rt△ADE′中，DE′2＝AE′2＋AD2，

∵AE′＝EC，

∴DE′2＝EC2＋AD2

同(1)可得DE＝DE′，∴DE2＝AD2＋EC2.