Question

12．如圖，已知拋物線y=x²+bx+c交x軸于點A（-1，0）B（2，0），交y軸于點C，拋物線的對稱軸交x軸于點H，直線y=kx（k＞0）交拋物線于點M，N（點M在N的右側(cè)），交拋物線的對稱軸于點D．
（1）求b和c的值；
（2）如圖（1），若將拋物線y=x²+bx+c沿y軸方向向上平移$\frac{5}{4}$個單位，求證：所得新拋物線圖象與直線BC無交點；
（3）如圖（2），若MN∥BC．
①連接CD、BM，判斷四邊形CDMB是否為平行四邊形，說明理由；
②以點D為圓心，DH長為半徑畫圓⊙D，點P為拋物線上一點，Q點在⊙D上，試求線段PQ長的最小值．

Answer 1

分析 （1）把A、B兩點的坐標代入物線y=x²+bx+c中，得到一個方程組，求解即可；
（2）根據(jù)題意得出新的解析式，再設(shè)直線BC為y=kx+b，求出直線BC的解析式，由此聯(lián)立方程組，得到一個一元二次方程，再求出△的值，即可得出答案；
（3）根據(jù)兩點間距離公式，利用配方法轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)最值問題即可解決．

解答 解：（1）由題意得：
$\left\{\begin{array}{l}{1-b+c=0}\\{4+2b+c=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{b=-1}\\{c=-2}\end{array}\right.$，
則b=-1，c=-2．

（2）∵拋物線為y=（x+1）（x-2）=x²-x-2，沿y軸方向向上平移$\frac{5}{4}$個單位，
∴新拋物線為y=x²-x-$\frac{3}{4}$，
設(shè)直線BC為y=kx+b，
由題意得$\left\{\begin{array}{l}{b=-2}\\{2k+b=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=-2}\end{array}\right.$，
所以直線BC為：y=x-2，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x-2}\\{y={x}^{2}-x-\frac{3}{4}}\end{array}\right.$消去y得到x²-2x+$\frac{5}{4}$=0，
∵△=4-5=-1＜0，
∴方程組無解，拋物線與直線BC沒有交點．

（3）①∵MN∥BC，
∴k=1，OM＞OB，
∴MN≠BC，
∴四邊形CDMB不是平行四邊形．
②設(shè)點P（m，m²-m-2），
∵點D坐標為（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$），
∴PD²=（m-$\frac{1}{2}$）²+（m²-m-$\frac{5}{2}$）²=（m-$\frac{1}{2}$）²+[（m-$\frac{1}{2}$）²-$\frac{11}{4}$]²=（m-$\frac{1}{2}$）⁴-$\frac{9}{2}$（m-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{121}{16}$=[（m-$\frac{1}{2}$）²-$\frac{9}{4}$]²+$\frac{10}{4}$，
∴PD²的最小值=$\frac{10}{4}$，
∴PD的最小值=$\frac{\sqrt{10}}{2}$，
∵DQ=$\frac{1}{2}$，
∴線段PQ的最小值=$\frac{\sqrt{10}-1}{2}$．

點評 此題考查了二次函數(shù)的綜合，用到的知識點是待定系數(shù)法確定一次函數(shù)、二次函數(shù)解析式，解題的關(guān)鍵是利用配方法，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問題，有一定的代數(shù)化簡技巧，屬于中考壓軸題．