Question

如圖，在△ABC中，AB＝5，BC＝3，AC＝4，動(dòng)點(diǎn)E（與點(diǎn)A、C不重合）在AC邊上，EF∥AB交BC于點(diǎn)F．

1.當(dāng)△ECF的面積與四邊形EABF的面積相等時(shí)，求CE的長(zhǎng)

2.當(dāng)△ECF的周長(zhǎng)與四邊形EABF的周長(zhǎng)相等時(shí)，求CE的長(zhǎng)

3.試問(wèn)在AB上是否存在點(diǎn)P，使得△EFP為等腰直角三角形？若不存在，請(qǐng)簡(jiǎn)要說(shuō)明理由；若存在，請(qǐng)求出EF的長(zhǎng)．

 

Answer 1

 

1.CE＝2

2.

3.在AB上存在點(diǎn)P．使△EFP為等腰直角三角形，此時(shí)EF＝或EF＝

解析:解：（1）∵△ECF的面積與四邊形EABF的面積相等，

∴S△ECF：S△ACB=1：2，

又∵EF∥AB，∴△ECF∽△ACB，

∴,且AC=4，

∴CE=2；

（2）設(shè)CE的長(zhǎng)為x，

∵△ECF∽△ACB，

∴,∴CF=x，

由△ECF的周長(zhǎng)與四邊形EABF的周長(zhǎng)相等，得：

x+EF+x=(4-x)+5+(3-x)+EF

解得x=，∴CE的長(zhǎng)為

（3）△EFP為等腰直角三角形，有兩種情況：

①如圖1，假設(shè)∠PEF=90°，EP=EF

由AB=5，BC=3，AC=4，得∠C=90°

∴Rt△ACB斜邊AB上高CD=,設(shè)EP=EF=x，由△ECF∽△ACB，得：

即，

解得x=，即EF=

當(dāng)∠EFP´=90°，EF=FP′時(shí)，同理可得EF=；

 

②如圖2，假設(shè)∠EPF=90°，PE=PF時(shí)，點(diǎn)P到EF的距離為EF

設(shè)EF=x，由△ECF∽△ACB，得：

解得x= ，即EF= 

綜上所述，在AB上存在點(diǎn)P，使△EFP為等腰直角三角形，此時(shí)EF=或EF=